Homomorfisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Stuk toegevoegd uit de Engelse wikipedia. plaatje komt uit de Servische wikipedia |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 23:
Homomorfismen hoeven niet te mappen tussen verzamelingen die dezelfde operaties hebben. Er bestaan bijvoorbeeld operatie-bewarende functies tussen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] met de operatie optelling en de de verzameling van de positieve reële getallen met operatie vermenigvuldiging. Een functie die een operatie bewaart, vereist de eigenschap dat:''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') * ''f''(''b''), dit aangezien optelling de operatie in de eerste verzameling en vermenigvuldiging de operatie in de tweede verzameling is. Gegeven de wetten van het [[machtsverheffen]], voldoet ''f''(''x'') = e<sup>''x''</sup> aan deze voorwaarde : 2 + 3 = 5 vertaalt zich in e<sup>''2''</sup> * e<sup>''3''</sup> = e<sup>''5''</sup>.
Een bijzonder belangrijke eigenschap van homomorfismen is dat wanneer een [[neutraal element|identiteitselement]] aanwezig is, dit altijd bewaard zal blijven. Dit neutrale element wordt namelijk op zichzelf afgebeeld. Merk op dat in het eerste voorbeeld ''f''(0) = 0 en dat 0 dan de [[additieve identiteit]] is. In het tweede voorbeeld is ''f''(0) = 1, aangezien 0 hier de additieve identiteit, en 1 de multiplicatieve identiteit is.
Als we meerdere operaties op een verzameling in overweging nemen. dan moeten alle operaties bewaard blijven wil een functie als homomorf worden gezien. Eenzelfde functie, kan bijvoorbeeld in de [[groepentheorie]] (verzamelingen met één enkele operatie) homomorf zijn, terwijl dezelfde functie in de [[ringtheorie]] (verzamelingen met twee gerelateerde operaties) niet homomorf is, bijvoorbeeld omdat deze functie de extra operatie, die in ringtheorie wordt bestudeerd, niet bewaard.
| |||