Homomorfisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Stuk toegevoegd uit de Engelse wikipedia. plaatje komt uit de Servische wikipedia |
||
Regel 13:
:<math>\, a,b</math> uit <math>\, G</math> geldt <math>\, f(ab)=f(a)f(b)</math>
==Informele discussie==
Omdat de abstracte algebra [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en met [[operatie (wiskunde)|operatie]]s bestudeert, die interessante structuren of eigenschappen op deze verzameling genereren, zijn de meest interessante [[functie (wiskunde)|functie]]s deze die deze operaties ''bewaren''. Zulke functies staan bekend als homomorfismen.
Beschouw bijvoorbeeld de [[natuurlijke getal]]len met [[optellen]] als de operatie. Een functie die een optelling bewaard moet de eigenschap hebben dat: ''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b'').
''f''(''x'') = 3''x'' is bijvoorbeeld zo'n homomorfsme, aangezien ''f''(''a'' + ''b'') = 3(''a'' + ''b'') = 3''a'' + 3''b'' = ''f''(''a'') + ''f''(''b''). Merk op dat dit homomorfisme de natuurlijke getallen afbeeldt op zichzelf.
Homomorfismen hoeven niet te mappen tussen verzamelingen die dezelfde operaties hebben. Er bestaan bijvoorbeeld operatie-bewarende functies tussen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] met de operatie optelling en de de verzameling van de positieve reële getallen met operatie vermenigvuldiging. Een functie die een operatie bewaart, vereist de eigenschap dat:''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') * ''f''(''b''), dit aangezien optelling de operatie in de eerste verzameling en vermenigvuldiging de operatie in de tweede verzameling is. Gegeven de wetten van het [[machtsverheffen]], voldoet ''f''(''x'') = e<sup>''x''</sup> aan deze voorwaarde : 2 + 3 = 5 vertaalt zich in e<sup>''2''</sup> * e<sup>''3''</sup> = e<sup>''5''</sup>.
Een bijzonder belangrijke eigenschap van homomorfismen is dat wanneer een [[neutraal element|identiteitselement]] aanwezig is, dit altijd bewaard zal blijven. Dit neutrale element wordt namelijk op zichzelf afgebeeld. Merk op dat in het eerste voorbeeld ''f''(0) = 0 en dat 0 dan de additieve identiteit is. In het tweede voorbeeld is ''f''(0) = 1, aangezien 0 hier de additieve identiteit, en 1 de multiplicatieve identiteit is.
Als we meerdere operaties op een verzameling in overweging nemen. dan moeten alle operaties bewaard blijven wil een functie als homomorf worden gezien. Eenzelfde functie, kan bijvoorbeeld in de [[groepentheorie]] (verzamelingen met één enkele operatie) homomorf zijn, terwijl dezelfde functie in de [[ringtheorie]] (verzamelingen met twee gerelateerde operaties) niet homomorf is, bijvoorbeeld omdat deze functie de extra operatie, die in ringtheorie wordt bestudeerd, niet bewaard.
== Soorten homomorfismen ==
Regel 25 ⟶ 38:
* Een '''[[automorfisme]]''' is een endomorfisme dat tegelijkertijd ook een isomorfisme is.
De bovenstaande termen worden op soortgelijke wijze in de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]] gebruikt, in de categorietheorie zijn de definities echter meer subtiel, zie het artikel over [[morfisme]] voor meer details.
Merk op dat in de ruimere context van de ''structuur-bewarende'' afbeeldingen, het in het algemeen niet genoeg is om een isomorfisme als een bijectief morfisme te definierentie. Men dient ook te eisen dat de [[inverse]] een morfisme van hetzelfde type is. In een algebraïsche omgeving (tenminste binnen de context van de [[universele algebra]]) wordt automatisch aan deze extra voorwaarde voldaan.
| |||