Partiële differentiaalvergelijking: verschil tussen versies

In de natuurwetenschappen komt het nog al eens voor dat een grootheid beïnvloed wordt door meer dan een andere grootheid. Partiële differentiaalvergelijkingen liggen dan erg voor de hand bij het beschrijven van varities van die grootheden in hun onderlinge samenhang. Voorbeelden zijn de voortplanting van geluid en de geleiding van warmte, de electrostatica en -dynamica, vloeistoffenstromen en elastictiteit. Hierbij hangen materiaaleigenschappen af van plaats en tijd. Gelijksoortige differentiaalvergelijkingen (bijv. golfvergelijkingen kunnen optreden in verschillende takken van de fysica, bijv, golfvergelijkingen in de akoestiek en de seismiek. Door het analyseren van de onderlinge samenhang van variaties in verschillende grootheden kan een partiële differentiaalvergelijking worden opgesteld; in combinatie met rand- en beginvoorwaarden kan een eenduidige oplossing worden gevonden.

Bij een ''lineaire'' partiële differentiaalvergelijking wordt een uitdrukking gelijk aan nul gesteld die overeenkomt met een eerstegraads [[veelterm]], waarin de [[coëfficiënt]]en bekende functies zijn, en de veranderlijken de onbekende functie en haar diverse partiële afgeleiden. Dergelijke vergelijkingen zijn soms in gesloten vorm oplosbaar door middel van [[distributie (wiskunde)|distributies]] en [[Fouriertransformatie]]. Een klassiek voorbeeld hiervan is het gebruik van Fourierreeksen bij het oplossen van niet-stationaire warmtegeleidingsproblemen.

StelEen eeneenvoudig zovoorbeeld eenvoudigvan mogelijkeeen partiële differentiaalvergelijking is:

DezeHieruit relatie [[Logische implicatie|implicieert]]volgt dat de waarden ''u''(''x'',''y'')oplossing onafhankelijk zijn van ''x''. Derhalve is deen algemenekan oplossingdus vangeschreven dezeworden vergelijkingals:

waar ''f'' een willekeurigete bepalen functie van ''y'' is. De analoge 'gewone' [[differentiaalvergelijking]] luidt