Ondergroep (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 58:
Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: <font color="orange">''J''={0,4}</font color> en <font color="red">''H''={0,2,4,6}}</font color>, waar ''J'' ook een ondergoep is van ''H''. De [[Cayley-tabel]] voor ''H'' bestaat uit het linkerboven [[kwadrant]] van de Cayley tabel voor ''G''. De groep ''G'' en de ondergroepen van ''G'' zijn [[cyclische groep|cyclische groepen]]. In het algemeen zijn ondergroepen van cyclische groepen ook cyclisch.
==Nevenklasses en de stelling van Lagrange==
Gegeven een subgroep ''H'' en een willekeurige ''a'' in G, definieren we de '''linker[[nevenklasse]]''' ''aH'' = {''ah'' : ''h'' in ''H''}. Omdat ''a'' inverteerbaar is, is de mapping φ : ''H'' → ''aH'' gegeven door φ(''h'') = ''ah'' een [[bijectie]]. Verder maakt elk element van ''G'' deel uit van precies een linker nevenklasse van ''H''; de linker nevenklasses zijn de [[equivalentieklasse]]s die corresponderen met de [[equivalentierelatie]] ''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub> [[dan en slechts dan als]] ''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub> in ''H'' is. Het aantal linkernevenklasses van ''H'' wordt de ''index'' van ''H'' in ''G'' genoemd en wordt aangeduid door [''G'' : ''H''].
De [[stelling van Lagrange (groepentheorie)|stelling van Lagrange]] stelt dat voor een [[eindige groep]] ''G'' en een subgroep ''H'' geldt dat,
:<math> [ G : H ] = { |G| \over |H| } </math>
waar ''|G|'' en ''|H|'' de [[orde (groepentheorie)|orde]]n van ''G'' en ''H'' aanduiden. De orde van elke subgroep van ''G'' (en de orde van elk element van ''G'') moet een [[deler]] zijn van ''|G|''.
'''Rechternevenklassen''' worden op analoge wijze gedefinieerd: ''Ha'' = {''ha'' : ''h'' in ''H''}. Zij zijn ook equivalentie klassen voor een gepaste equivalentierelatie en hun aantal (de index) is gelijk aan [''G'' : ''H''].
Als ''aH'' = ''Ha'' voor elke ''a'' in ''G'', dan zegt men dat ''H'' een [[normaaldeler|normale subgroep]] is. Elke subgroep met index 2 is normaal: de linker- en rechternevenklassen zijn dan simpelweg de subgroep en het complement daarvan.
[[Categorie:Groepentheorie]]
| |||