Alternerende groep: verschil tussen versies

In de [[groepentheorie]], een tak van de [[wiskunde]], onderscheidt men de '''alternerende groep op <math>n</math> elementen''', genoteerd met het [[symbool]] <math>\mathcal{A}_n</math>. Hierbij is <math>n</math> een willekeurig [[natuurlijk getal]] verschillend van 0.

Zij <math>\mathcal{S}_n</math> de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle [[permutatie]]s op de verzameling van de eerste <math>n</math> [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]]. Met de [[Samengestelde relatie|samenstelling van permutaties]] als [[groepsbewerking|bewerking]] wordt <math>\mathcal{S}_n</math> een [[groep (wiskunde)|groep]], genaamd de [[groep (wiskunde)#symmetrie|symmetrische groep]]. Twee permutaties, de een na de ander uitgevoerd, vormen ook een permutatie, en de omgekeerde relatie van een permutatie is eveneens een permutatie. De samenstelling van relaties, en dus ook van permutaties, is [[associatief]]. De identieke permutatie fungeert als [[neutraal element]].

Elk element van <math>\mathcal{S}_n</math> kan geschreven worden als een samenstelling van een eindig aantal ''[[verwisselingen]]'' (permutaties die slechts twee elementen van plaats veranderen). Deze schrijfwijze is niet uniek, maar de [[pariteit]] van het aantal verwisselingen is wel onveranderlijk. Een ''[[even]]'' permutatie is een samenstelling van een even aantal verwisselingen, een ''oneven'' permutatie is een samenstelling van een[[ oneven]] aantal verwisselingen. De identieke permutatie is even. Elke verwisseling is oneven.

<math>\mathcal{A}_n</math> is de [[ondergroep (wiskunde)|deelgroep]] van <math>\mathcal{S}_n</math> die bestaat uit de even permutaties.

Als <math>n\geq 2</math>, dan bevat <math>\mathcal{A}_n</math> precies de helft van het aantal elementen[[element (wiskunde)|element]]en van <math>\mathcal{S}_n</math>, dus <math>n!\over2</math> (zie [[faculteit (wiskunde)|faculteit]])

Als <math>n\geq 3</math>, dan is <math>\mathcal{S}_n</math> ''geen'' [[abelse groep|abelse]] [[Commutativiteit|(commutatieve)]] groep.