Passieve en actieve rotatie

Rotaties in de driedimensionale ruimte worden onderscheiden in actieve rotaties en passieve rotaties. Een object dat een actieve rotatie ondergaat, wordt daadwerkelijk gedraaid en neemt een nieuwe positie in de ruimte in. Een actieve rotatie wordt daarom ook alibitransformatie genoemd (alibi, elders). Ondergaat een object daarentegen een passieve rotatie, dan blijft het object zelf op z'n plaats in de ruimte, maar wordt zijn positie bepaald ten opzichte van een nieuw assenstelsel dat door de tegengestelde rotatie uit het oude assenstelsel is ontstaan. Een passieve rotatie heet daarom ook aliastransformatie (alias, andere naam).

Bij de actieve rotatie gaat P over in P'; de assen blijven gelijk. Bij de passieve rotatie blijft P hetzelfde, maar worden de assen verplaatst

In het nevenstaande plaatje worden de begrippen nog eens aanschouwelijk voorgesteld in een tweedimensionaal voorbeeld.

In de linkerfiguur wordt het punt P actief met de wijzers van de klok mee gedraaid over een hoek naar het punt P'. Het punt P' heeft nieuwe coördinaten.

In de rechterfiguur blijft het punt P op z'n plaats, maar ondergaat een passieve rotatie doordat het assenstelsel tegen de wijzers van de klok in gedraaid wordt over een hoek Als gevolg hiervan krijgt P ten opzichte van dit gedraaide assenstelsel ook nieuwe coördinaten.

Door in dit voorbeeld de passieve rotatie tegengesteld aan de actieve te kiezen zijn de nieuwe coördinaten in beide gevallen dezelfde.

Actieve rotatieBewerken

In de euclidische ruimte   vormen de eenheidsvectoren   het rechtshandige assenstelsel xyz.

De rotatie   wordt bepaald door de beelden van de eenheidsvectoren in het xyz-stelsel:

 
 
 

Een vector   wordt door de rotatie   actief afgebeeld op de vector

 ,

waarin   de bij   behorende matrix is.

De coördinaten van het beeld kunnen berekend worden als:

 ,

d.w.z. als het matrixproduct van de matrix van de rotatie   met de vector  .

Passieve rotatieBewerken

Bij een passieve rotatie   wordt een tweede rechtshandig assenstelsel, het XYZ-stelsel, gevormd uit het stelsel xyz door de actieve rotatie   in tegengestelde richting. De eenheidsvectoren in dit XYZ-stelsel zijn de geroteerde eenheidsvectoren van het xyz-stelsel:

 
 
 

De vector   in het xyz-stelsel heeft in het XYZ-stelsel de coördinaten  , d.w.z.

 

Dus

 

of anders geschreven in matrixvorm

 

De nieuwe coördinaten zijn dus het matrixproduct van de matrix   van de rotatie   met de vector  . Men zegt dat de vector   een passieve rotatie   heeft ondergaan.

SamenvattingBewerken

Bij een actieve rotatie   worden de objecten gedraaid; het beeld van een vector   is de vector  . Bij een passieve rotatie   wordt het assenstelsel in tegengestelde richting gedraaid met de rotatie  ; nu stelt   de coördinaten van een vector   ten opzichte van het gedraaide assenstelsel voor.

Noemt men het beeld van het punt P de nieuwe P, dan kan men kort zeggen: bij een actieve rotatie berekent men de coördinaten van de nieuwe P in het oude stelsel, en bij een passieve rotatie de coördinaten van de oude P in het nieuwe stelsel.

VerbandBewerken

Het matrixproduct   van de matrix van de rotatie   met de vector   kan opgevat worden als een actieve rotatie en dan stelt dit product de geroteerde vector voor, of als een passieve rotatie en dan stelt dit product de coördiaten van   voor ten opzichte van het in tegengestelde richting geroteerde assenstelsel.

Kiest men bij een passieve rotatie   de rotatie van het assenstelsel tegengesteld aan de rotatie bij een actieve rotatie  , dan zijn de nieuwe coördinaten bij de actieve rotatie gelijk aan de nieuwe coördinaten bij de passieve rotatie. Dan is namelijk

 

en dus

 


Let op het verschil tussen  , de oude coördinaten van de "nieuwe"  , en  , de nieuwe coördinaten van (de oude)  .

VoorbeeldBewerken

De onderstaande matrix   beschrijft een rotatie om de draaiingsas   over een hoek van 90°.

 

De vector   wordt actief gedraaid naar de vector  .

Bij een passieve rotatie met de draaiing   wordt het assenstelsel gedraaid met de tegengestelde rotatie  :

 

en worden de nieuwe eenheidsvectoren gegeven door de kolommen van deze matrix.

De coördinaten van   ten opzichte van dit nieuwe stelsel worden gegeven door:

 ,

wat dezelfde getallen zijn als de coördinaten van   bij de actieve rotatie, maar met een andere betekenis. Bij de actieve rotatie betekent  , dat

 ,

terwijl bij de passieve rotatie de coördinaten de betekenis hebben:

 

ToepassingBewerken

Vooral in de robotica wordt de beweging van een object vaak beschreven aan de hand van een assenstelsel dat met het object verbonden is, een zogeheten lichaamseigen stelsel. Een verplaatsing van het object betekent dan, afgezien van een translatie, een passieve rotatie. Het assenstelsel waarin het object beweegt, bijvoorbeeld een aardgebonden assenstelsel, ondergaat dan een rotatie met betrekking tot het lichaamseigen stelsel. Bij meerdere objecten kunnen al die verschillende lichaamseigen stelsels snel onoverzichtelijk worden. Het zal dan eenvoudiger zijn één vast aardgebonden stelsel te kiezen en de beweging van de objecten, weer afgezien van translaties, als actieve rotaties te beschrijven.

LiteratuurBewerken

  • Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, blz. 84, Addison-Wesley.

Externe linksBewerken