Norm (vector)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Norm (wiskunde))

Een norm is een grootte-begrip van de elementen (vectoren) van een vectorruimte.

Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is noemt men een genormeerde vectorruimte.

DefinitieBewerken

Een norm   is een reële functie op een vectorruimte over een deellichaam van de complexe getallen, met de volgende eigenschappen:[1]

0. De norm is niet negatief.

 .

1. Alleen de nulvector heeft norm 0.

 

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de gewone absolute waarde van de scalair:

 
Voor reële vectorruimten betekent dit dat de normfunctie positief homogeen is van de eerste graad.

3. De driehoeksongelijkheid. De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.

 

Dit zijn niet de minimale eisen voor een norm. Voorwaarde 0 is onnodig en voorwaarde 1 kan worden vervangen door een op zichzelf minder strenge voorwaarde, omdat die in combinatie met de andere voorwaarden equivalent is:  . Uit voorwaarde 2 volgt namelijk dat  . Als bovendien aan voorwaarde 2 en 3 is voldaan, volgt reeds dat aan voorwaarde 0 is voldaan:

 

MetriekBewerken

In een genormeerde vectorruimte induceert de norm een afstand   tussen twee vectoren   en  , gedefinieerd als de norm van de verschilvector:

 

Met deze afstand is de ruimte ook een metrische ruimte.

Als deze metrische ruimte volledig is, wordt ze banachruimte genoemd.[1]

VoorbeeldenBewerken

  • Op de vectorruimte   of   is de volgende functie van   een norm, de euclidische norm, die gelijk is aan de lengte van  :
 
  • Algemener is er voor ieder reëel getal   de  -norm, waarbij de Manhattan-metriek met de  -norm correspondeert en de euclidische norm met de  -norm:
 
 
De supremumnorm in het tweedimensionale reële vlak. De cirkel van alle vectoren met gegeven positieve norm vormt in de gewone metriek een vierkant.
  • In de limiet van   voor   ontstaat de maximum- of supremumnorm:
 
  • Generalisaties van het bovenstaande: oneindigdimensionale  -ruimte, en meer algemeen  -ruimte, zie Lp-ruimte.
  • Elk inwendig product met scalairenlichaam   of   bepaalt een norm via de definitie
 
De euclidische norm wordt dus geïnduceerd door het standaardinproduct op  :
 
of op  :
 
  • Voor elke norm   en elke inverteerbare lineaire transformatie   kan men een nieuwe norm definiëren door
 
  • Matrices kunnen opgevat worden als lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten, en in die zin voorzien worden van een norm, die afhangt van het tweetal normen van de beide ruimten (zie onder).
  • Voor complexe  -matrices   definieert men de frobeniusnorm, geïnduceerd door het frobenius-inproduct:
 
met   de geconjugeerde getransponeerde matrix van  .

SeminormBewerken

Een functie, die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procedé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte. De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een lineaire deelruimte, die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie.

Op de quotiëntruimte wordt dan een normfunctie gedefinieerd door met iedere nevenklasse de pseudonorm van eender welke vertegenwoordiger te associëren. De topologie van deze normfunctie is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Norm van een lineaire afbeeldingBewerken

  Zie Operatornorm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als   een lineaire afbeelding is tussen twee genormeerde ruimten   en   over hetzelfde scalairenlichaam, dan definieert men de operatornorm van   als de kleinste bovengrens van de vergrotingen die eenheidsvectoren ondergaan:

 

Deze norm blijkt dan en slechts dan eindig te zijn als   continu is ten opzichte van de respectievelijke topologieën van   en  .

De verzameling van alle continue lineaire afbeeldingen tussen   en  

 

is opnieuw een genormeerde vectorruimte over hetzelfde lichaam.

Matrices representeren lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten en hebben (naast andere normen zoals de bovengenoemde frobeniusnorm) een overeenkomstige norm, die afhangt van het tweetal normen. Bij de euclidische norm in de beide vectorruimten is de norm van de matrix de spectrale norm, dit is de wortel uit de grootste eigenwaarde van de matrix  , waarbij   de geconjugeerde getransponeerde matrix van   is.

Equivalentie van normenBewerken

Twee normen   en   op een vectorruimte   zijn equivalent als er positieve getallen   bestaan zodat voor alle   geldt:

 

Normen zijn dan en slechts dan equivalent als ze dezelfde topologie induceren. Voor elke   zijn alle normen op een  -dimensionale vectorruimte equivalent.

Zie ookBewerken