I. Als , en voor = t/m geldt , dan geldt voor = t/m .
II. Als , en voor >= geldt , dan geldt voor >= .
Neem aan II. Neem aan dat E voldoet aan de voorwaarde van I, dus , en voor = t/m geldt .
Neem voor alle = t/m gelijk aan en voor m>n waar.
Dan , en voor = t/m geldt , want voor m<=n zijn en gelijk.
Voor m >= n geldt , want is dan waar.
Aan de voorwaarde van II is dus voldaan, dus voor >= , en dus voor = t/m .
Conclusie: uit II volgt I.
Neem nu aan I. Neem aan dat F voldoet aan de voorwaarde van II, dus , en voor >= geldt ,
Neem voor alle voor alle = t/m gelijk aan . Dan voor = t/m , dus voor = t/m .
Dit geldt voor iedere n>=k.
Conclusie: uit I volgt II.
k=0 en preciezer
bewerken
I. Voor elk geheel getal n>=0 en elke boolean functie E op {0,1,..n} geldt: Als , en voor = t/m geldt , dan geldt voor = t/m .
II. Voor elke boolean functie F op {0,1,2,..} geldt: Als , en voor >= geldt , dan geldt voor >= .
Neem aan II. Neem aan dat E voldoet aan de voorwaarde van I, dus , en voor = t/m geldt .
Neem voor alle = t/m gelijk aan en voor m>n waar.
Dan , en voor = t/m geldt , want voor m<=n zijn en gelijk.
Voor m >= n geldt , want is dan waar.
Aan de voorwaarde van II is dus voldaan, dus voor >= , en dus voor = t/m .
Conclusie: uit II volgt I.
Neem nu aan I. Neem aan dat F voldoet aan de voorwaarde van II, dus , en voor >= geldt ,
Neem voor alle voor alle = t/m gelijk aan . Dan voor = t/m , dus voor = t/m .
Dit geldt voor iedere n>=0.
Conclusie: uit I volgt II.
Gevallen waaein gemakkelijker te bewijzen is dan rechtstreeks.