Gebruiker:Hesselp/Reihe - Diskussion

Waarom deze pagina?

Ter voorkoming van misverstand. Mijn gekladder, gepruts, geschuif en geëxperimenteer op deze pagina is momenteel in eerste instantie gericht op het produceren van bijdragen op duitstalige wiskunde-pagina's. Maar dit dient te worden gezien als een uitstapje naar een niet-nederlandstalige WP met als (hoofd)doel om discussie-resultaten aldaar - als ik nog tijd van leven heb - te gaan gebruiken in de discussie op 'onze eigen' WPnl ter verbetering van het lemma Reeks (wiskunde) en aanverwanten. (Bij mijn weten is nog steeds door niemand - wereldwijd - aangetoond dat er in het wiskundeonderdeel 'analyse' een wiskundig begrip gebruikt wordt genaamd 'reeks', dat inhoudelijk zou verschillen van het begrip dat (sinds zowat een eeuw) met de naam 'getallenrij', of een extensie daarvan, aangeduid wordt. Het bestaan van de naam 'reeks-voorstelling' -Reihe-Darstellung- voor een speciale manier van AANDUIDEN/NOTEREN van getallenrijen, creëert NIET een afzonderlijk wiskundig BEGRIP.) Moge mijn wijze van gebruiken van deze kladblokpagina gezien worden in het kader van een poging tot informatie-verkrijging buitenslands(buitenstaals), als uitbreiding op het zoeken naar informatie in niet-nederlandstalige geschreven bronnen. (Dat laatste mag toch óók door iemand die schrijft voor WPnl.) 28 september 2021.

Der mit "Reihe Σan" angedeutete Begriff hat genau dieselben Gliedern wie der mit "Folge (an)" angedeutete Begriff.

Der mit "Reihe Σan" angedeutete Begriff hat genau dieselben Partialsummen wie der mit "Folge (an)" angedeutete Begriff.

Der mit "Reihe Σan" angedeutete Begriff hat genau dieselben Summe wie der mit "Folge (an)" angedeutete Begriff.

Und doch behaupten viele Autoren ein scharfes Unterscheid zwischen beiden zu sehen.

"Folge" wird allgemein definiert als: Abbldung auf N Wenn "folge"definiert wird, ist es: Abbilding auf N. Wenn "Reihe" definiert wird, ist es: ein abstract ( formel) mathematisches Objekt (Begriff) Sehe WPen und WPde-Disk.

Exacte kopie van op "Portal Mathematik" geplaatste tekst, 12 november 2021, 20 uur ...................

'Folge' und 'Reihe' – ein Begriff, zwei Sprachen

Für Abbildungen auf den natürlichen Zahlen gibt es zwei Nomenklatur- und Notationsvarianten, mit die Verwendung von 'konvergent/konvergieren' (für Gliedernhäufung bzw. Teilsummenhäufung) als meist wesentlichen Unterschied.

Die Convergenz  e i n e r  R e i h e  a n  s i c h  ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz  i h r e r  S u m m i r u n g  zu einem endlichen Grenzwerthe;  letztere schliesst zwar die erstere ein, aber nicht umgekehrt.   C.F. Gauß, ca 1800.

It is clear that a series is,  l i k e  a  s e q u e n c e,  a function whose domain is the class of natural numbers.  The difference lies in the operations that are, if possible, to be performed.   L.M. Graves, 1946, 1956.

(gekürzt)  A sequence〈f_n〉can be  c o n v e r g e n t ,  a series〈f_n〉can be  s u m m a b l e .   H.L. Royden, 1968, 1988.

The ${\textstyle \sum }$ sign  d e n o t e s  summation, so that when we  t a l k  of  ' the series ${\textstyle \sum a_{n}}$'   we are referring to the process of summing the terms $a_{n}$, that is, we are interested in the behavior of the associated sequence $(s_{n})$.   D.S.G. Stirling, 1987.

(gekürzt)  If the sequence of partial sums of sequence  {x_n}  converges to y,  then we say that  {x_n}  is a  s u m m a b l e  s e q u e n c e  (or that the  infinite series Σx_i  converges to y ).   C.S. Kubrusly, 2001, 2011.

In modern terms, one might say that a sequence  o r  a  s e r i e s  is simply a function N→R,  the same in both cases.   'Raciquel', 2014.

In beiden Sprachen:

- die Zahlen $\,a_{n}\,$ heißen  'Glieder der Folge/Reihe' ;

- die Zahlen $\,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}\,$,  auch ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,}$,  heißen  'Teilsummen der Folge/Reihe' ;

- die Grenzwert der Teilsummen einer Folge/Reihe heißt  'Summe der Folge/Reihe' ;

- die Teilsummenfolge einer Folge/Reihe wird notiert als  $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})\,$,  $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}\,$,  ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}a_{i})\,}$,  ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n\geq 1}\,}$ ;

- die Summe ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})\,}$ einer Folge/Reihe wird notiert als ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$,  auch $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \infty \,$ (Jolley [1]) .

In der Folge-Gliedernkonvergenz-Sprache (vor ca 1920 nur ausnahmsweise verwendet):

- eine Abbildung $a$ auf $\mathbb {N}$ heißt  'Folge mit Gliedern a-n',  und wird notiert als $\,a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \,$,  $(a_{n})$,  $(a_{n})_{n\geq 1}$ (zuerst { }, auch〈 〉) ;

- 'konvergent', 'konvergierend' und 'konvergieren' stehen für das Zusammenlaufen/Anhäufen der Gliedern einer Folge;

- 'summierbar' und 'summieren' stehen für das Zusammenlaufen der Teilsummen einer Folge;

- 'Grenzwert einer Folge' steht für die Grenzwert der Gliedern.

                          Quellen G1-G27 mit  'Konvergenz'  für Gliedernkonvergenz,  (chronologisch)

- G1.  C.F. Gauß, Werke Band X Abt. I, ca 1800, S. 400:

Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0.

- G2.  Ch. Méray, Nouveau Précis d'Analyse Infinitésimale, 1872 (Kap. I, p. 1-2: "une variante convergente"  bei zusammenlaufenden Gliedern, Kap. II, p. 19: "une série/suite convergente"  bei zusammenlaufenden Summen):

Nous appellerons variante un nombre variable [..] dont la valeur dépend d'un nombre entier.  S'il existe un nombre V tel [..], on dit que la variante tend ou converge vers la limite V.

Une série est une suite  u₁, u₂,..., u_n,...   de quantités [..] se calculant successivement suivant une loi donnée.  Quand la somme S_n des n premiers termes tend vers une certaine limite, on dit que la série est convergente.

- G3.  J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, S. 44:

Soit  u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...].

- G4.  A. Pringsheim, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil, 1899, S. 32:

Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert, ... .

- G5.  O. Biermann, Vorlesungen über mathematische Näherungsmethoden, 1905, S 2:

Allgemein sagt man, eine Reihe von Gröszen  c₀, c₁, c₂, ...  die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . .

- G6.  E.W. Hobson, The theory of functions of a real variable and ..., 1907, S. 33:

Convergent sequences of real numbers.

- G7.  N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, S. 23:

Die Folge  a₀, a₁, a₂, ···, a_n, ···  heißt dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt  A = lim_n=∞ a_n.

- G8.  G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910, S. 77-78:

...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, ... .

- G9.  G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), S. 1:

Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert.

- G10.  O. Perron, Irrationalzahlen, 1921, S. 48:

Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat, ... .

- G11.  E.J. Dijksterhuis, Euclides jrg. 3, 1926/27, nr. 4, 1927, S. 101 Zeile 16-17:

De variant heet sommeerbaar, als de somvariant convergeert. De limiet van de somvariant heet de som van de variant (of de reeks).

- G12.  P.J.G. Vredenduin (Verslag Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35-2, 1959, S. 57-59:

een convergente rij is een rij waarvoor lim t_k bestaat;  een sommeerbare rij is een rij waarvoor lim s_k bestaat.

- G13.  Schulbücher in den Niederlanden seit 1960:

Es wird nirgendwo von "Reihen" ("reeksen") gesprochen.  Folgen mit einer Summe heißen "sommeerbaar", nicht "convergent".

- G14.  M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (same: 4th ed. 2008 p. 472), p. 389:

The sequence  {a_n}  is summable  if the sequence  {s_n}  converges.

- G15.  H.L. Royden, Real Analysis, 2^nd ed. 1968, p. 115-116 (same: 3^rd ed. 1988, p. 123-124)  

A sequence〈f_n〉in a normed lineair space is said to converge to an element f in the space  if  [..]  norm(f - f_n) < ε .

A series〈f_n〉in a normed lineair space is said to be summable to a sum s  if s is in the space and the sequence of partial sums of the series converges to s .

Zu beachten:  Das Symbol〈f_n〉steht nicht nur für  'sequence'  aber auch für  'series' .

 Kombiniert mit  'partial sum',  'summable'  und  'sum'  ist es konsequent  'series' , nicht  'sequence' .

Die Kombination  'summable series'  ist nicht gebraüchlich.

- G16.  A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2. Aufl. 1989 (1. Aufl. 1986, 4. Aufl. 2003), S. 71:

Stel dat deze rij  s₁, s₂, ...  een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij  x₁, x₂, ...,  en de rij  x₁, x₂, ...  heet sommeerbaar.

- G17.  B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, S. 177-179:

We noemen een rij (t_n) sommeerbaar, als de rij van partiële sommen (S_n) convergeert.

- G18.  R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente - NL), 2000, S. 42:

De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar.

- G19.  C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, S. 201:

If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence .   If the real-valued sequence {norm x_n} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence.

- G20.  R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College):

A complex sequence {a_n} is summable iff the series Σ{a_n} is convergent.

- G21.  E.A. Azoff, Sequences and Series, 2010, S. 28, 45:

The sequence  (a_n)  is said to converge to L if ... abs(a_n - L) < ε .   [..]   A sequence  (a_n)_n≥N  is said to be summable if the corresponding sequence  (s_n)_n≥N  of partial sums is convergent.

- G22.  H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, S. 287:

A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable iff the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,

- G23.  P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools:

A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges.

- G24.  N. Strickland (University of Sheffield - UK), Mathematics Educators Stack Exchange, 2014  

(Quote via “How can I teach my students the difference between a sequence and a series?”, answer 6/11, line 19):

The term "summable" is fairly standard. I would always use that instead of "convergent" when referring to series.

- G25.  K.P. Hart, Pythagoras (Schülernzeitschrift), 2014, 53-6 S. 24:

Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar.

- G26.  gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015:

Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes.

- G27.  O. Riesen, Dokumente für meinen Unterricht, website 2019, Zitat via "Analysis">"Zahlenfolge" / "3. Teilsummen,Reihen">"Skript" / S. 24 Zeile 10):

Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.

In der Reihe-Teilsummenkonvergenz-Sprache (verwendet wenn die Teilsummen und ihrer Grenzwert diskutiert werden):

- eine Abbildung $\,a\,$ auf N heißt  'Reihe mit Gliedern a-n', und wird notiert als  'Reihe$\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$',   '$\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$',   'Reihe${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$'  oder  '${\textstyle \sum a_{n}}$' ;

- 'konvergent' 'konvergierend' und 'konvergieren' stehen für das Zusammenlaufen der Teilsummen einer Reihe ;

- man spricht nicht von 'Grenzwert einer Reihe'  und es gibt keinen Kurznamen für 'eine zusammenlaufende-Gliedern-Reihe' ('Gliederhäufungsreihe'?);

- man spricht nicht von 'summierbare Reihe' und ebenso wenig von 'Teilsummenreihe einer Reihe' ;

- die Formen ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$,   ${\textstyle \,\sum _{n=..}^{\infty }a_{n}\,}$  und  $\,a_{..}{+}a_{..+1}{+}a_{..+2}{+}\cdots \,$  können stehen für:

  (1) die Abbildung 'Reihe': $\,n\to a_{n}\,$,

  (2) die Abbildung 'Teilsummenfolge der Reihe': $\,n\to a_{..}{+}\cdots {+}a_{n}\,$,

  (3) die Zahl 'Summe der Reihe': ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{..}{+}\cdots {+}a_{n})\,}$ .

                          Quellen T1-T15, mit  'Konvergenz'  für Teilsummenkonvergenz  (chronologisch)

- T1.   A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse, 1^re Partie. Analyse Algébrique, 1821, p. 123  [2]

On appelle  série   une suite indéfini de quantités $\,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},$ &c. . . .  qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée.   Si, [..] la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, [..].

Zu beachten:  Bei Cauchy steht die Ausdruck $\,(a_{0}{+})a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,$  niemals für die Reihe (série/suite)-Abbildung $n\to a_{n}$ oder ihre Teilsummen-Abbildung,  nur allein für ihre Summe-Zahl.

- T2.  R. Geigenmüller, Leitfaden und Aufgabensammlung zur höheren Mathematik, I. Band, 7. Aufl. 1907, S. 264, 265

Jene Folge von Zahlen wird eine  Reihe  und die einzelnen Zahlen werden die  Glieder  der Reihe genannt.  [..]  Jenachdem nämlich  lim(u₀+u₁+u₂+. . .+u_n-1)  eine endliche oder eine unendlichen Zahl darstellt, heisst die Reihe konvergent oder divergent;... .

- T3.  L. Bieberbach, Differentialrechnung, 3.Aufl. 1928, S.34  [3]

Wir legen unseren Betrachtungen eine Zahlenfolge  u₁, u₂, u₃, ···  zugrunde und nehmen uns vor, den Summenbegriff auf diese Folge von unendlich vielen Zahlen zu übertragen. Zum Zeichen dieses Vorhabens pflegt man gern die Glieder der Folge durch Pluszeichen zu verbinden statt sie durch Kommata zu trennen und von einer unendlichen Reihe statt einer unendlichen Folge zu reden: u₁ + u₂ + ···  Durch diese neue Schreibweise ist natürlich der Begriff "Summe einer unendlichen Folge oder Reihe"  noch nicht festgelegt, sondern dadurch sind nur die Reihenglieder  u  erneut aufgeschrieben.

- T4.  L.M. Graves, The theory of functions of real variables, 1946, p. 107  [4] (same in 2^nd edition 1956):

It is clear that a series is,  l i k e  a  s e q u e n c e, a function whose domain is the class of natural numbers.  The difference lies in the operations that are, if possible, to be performed.   The series ${\textstyle \sum a_{i}}$ is said to be convergent in case the corresponding sequence $(s_{m})$ has a finite limit.

- T5.  Ch.-J. de la Vallée Poussin, Cours d'Analyse Infinitesimale - Tome 1, 10. Aufl. 1947, S. 422 (11. Aufl. 1954, 12. Aufl. 1959):

On appelle série une suite indéfinie de quantités, réelles ou complexes,  u₁, u₂,... u_n....,   formées suivant une loi, ...   Si [..] la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est convergente et ... .

- T6.  D.A. Quadling, Mathematical Analysis, 1955, VIII Infinite Series, S.85 [5]

When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol Σu_r ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose rth term is u_r .

S. 86 (verkürzt):  If the sum sequence of u_r  has a limit, the infinite series Σu_r  is said to be CONVERGENT [..].

S. 74 (verkürzt):  If there is a number $l$ with [..] then the sequence TENDS TO $l$ .

- T6*  R.G.D. Allen, Mathematical Analysis for Economists, 1956, S. 446-447

A sequence either tends or does not tend to a finite limit.  [..]  (gekürzt:) A sequence, given the intention to add its successive members together, is called an infinite series (written down with plus signs).  [..]  If the sum of n terms of the series has a limit, the series is said to be convergent.

- T7.  K. Hoffman , Analysis in Euclidean Space, 1975, S.35  [6] [7]  (Neue Ausgabe 2007)

In many problems, we are given a sequence  ${\textstyle \{X_{n}\}}$  and we are interested in the convergence of the successive sums. We then speak of the infinite series  ${\textstyle \sum _{n}X_{n}}$

- T8.  Grote Nederlandse Larousse Encyclopedie, in 25 delen (1972-79), 20. Band 1978, S. 138-9   [8]  R e e k s

R e i h e  (Math.) Unbegrenzter Folge von Glieder, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Eine Reihe wird  $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots +a_{n}+\ldots \$geschrieben; [..] .

- T9.  E. Bishop, D.S. Bridges, Constructive Analysis, 1985, S.31  [9] [10]

A sequence which is meant to be summed is called a series.  A series is said to converge to its sum.  Thus the sequence  ${\textstyle \{2^{-n}\}_{n=1}^{\infty }}$  converges to 0 as a sequence, but as a series it converges to 1.  [...]  The series  ${\textstyle \{x_{n}\}}$  is often loosely referred to as the series  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$  .

- T10.  H.J. Keisler, Elementary Calculus, 2nd edition 1986, revised Jan. 2021, S.501   [11]  (1st edition 1976)

When we wish to find the sum of an infinite sequence $\langle a_{n}\rangle$, we call it an infinite series and we write it in theform $a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots$

- T11.  D.S.G. Stirling, Mathematical Analysis: A Fundamental and Straightforward Approach, 1987, p. 49  [12]:

The ${\textstyle \sum }$ sign  d e n o t e s  summation, so that when we  t a l k  of  'the series ${\textstyle \sum a_{n}}$'  we are referring to the process of summing the terms $a_{n}$, that is, we are interested in the behavior of the associated sequence $(s_{n})$.

Zu beachten:  Mit  when we talk of  'the series ${\textstyle \sum a_{n}}$'  soll gemeint sein:  when we  w r i t e  'the series ${\textstyle \sum a_{n}}$' ,  weil nicht völlig klar ist wie man das  s a g e n  soll.

- T12.  E.P. van den Ban, Opgaven Inleiding Analyse (Univ. Utrecht - NL), 2003, S.18  [13]

Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren.  (Eine Reihe ist deshalb eine Folge, wo die Notation darauf hinweist dass wir die Absicht haben zu summieren.)

- T13.  remarque (Pseud.), Les-Mathématiques.net, “Définition de la notion de série numérique”, 2011, 21. Beitrag  [14]

En fait la série et la suite sont vraiment à la base le même objet, mais ce sont les notions de convergence pertinentes qui diffèrent ... .

- T14  Raciquel (Pseud.), Mathematics Educators Stack Exchange, 2014, [15]

(Quote via “How can I teach my students the difference between a sequence and a series?”, answer 5/11, line 7):

In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function N→R,  the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use. [...] To me, the notion of a sequence and a series are intrinsically difficult to keep straight, the capital sigma being the main difference (or the plus dot-dot-dot).

- T15  E.P. van den Ban, Dictaat Functies en Reeksen (Univ. Utrecht - NL), 2019, S.54  [16]

We gebruiken de notatie ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van de rij $(a_{n})$ te sommeren.  (Wir wählen die Notation ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  um zu zeigen dass wir beabsichtigen die Elemente der Folge $(a_{n})$ zu summieren.)

Zusammenfassung   Im 19. Jh. war die Cauchy-Bedeutung von 'Konvergenz einer Reihe' (Summenhäufung) sehr dominant, im 20. Jh. ist eine Erweiterung der Gauß-Bedeutung von 'Konvergenz einer Reihe' (Gliedernhäufung) dabei gekommen. Wenn Summenhäufung gemeint ist bleibt man 'Reihe' sagen und schreiben; wenn Gliedernhäufung gemeint ist kombiniert man nicht mit 'Reihe' aber mit das nun als Fachwort gesehene 'Folge'.
Oder man sagt: 'konvergente Folge' (Gliedernhäufung) versus 'summierbare Folge' (Summenhäufung).  Im 19. Jh. sah man 'konvergent' und 'summierbar' oft als synonym.

Es scheint mir sinnvoll den oben stehende Text den 'Reihe-' und 'Folge-'Artikeln als Sektion hinzuzufügen - ohne alle Zitaten.   KONSENS ? -- (gesperrt für ANR)

Af te raden: Reihe = Ausdruck; a1+a2+a3+... voor Teilsummenfolge/reihe

Nog opzoeken: Vroege Folge-Sprache, zie Kladblok5, Cauchy-Quelle opnemen.

Citaat Buck 1956 "this has many defects"

Op te nemen als sectie in zowel Reihe als Folge  ? KONSENS?

Sinds wanneer aparte hoofdstukken voor Folgen en voor Reihen in de leerboeken? Seit wann: 'Teilsummen' ?

Kurz: Es gibt nur EINEN Begriff  'Abbildung auf N,  traditionell 'Reihe' und heutzutage (etwa letztes 100 Jahre) oft 'Folge' genannt.  'Konvergent' erscheint in ZWEI Bedeutungen: 'Summenkonvergent' (traditionell, wenn die Folge 'Reihe' heißt) versus 'Gliederkonvergent' (modern, wenn die Folge 'Folge' heißt).

Lowdots oder Centerdots ?

Gibt es Regeln / Empfehlungen / Meinungen zum Gebrauch von 'Lowdots' ($\ldots$) oder 'Centerdots' ($\cdots$) beim Notieren von 'Folgen und Reihen' ?  Gibt es Unterschied zwischen eine Ende-Position und eine zwischen-Position ? Quellen? --

@Tensorprodukt: @SweetWood: Danke, Tensorprodukt, für deinen Kommentar. Bezüglich deinen "die Regeln bezüglich $\ldots$ und $\cdots$ " :   (1) In der Versionsgeschichte von 'Reihe (Mathematik)' gibt es Varianten, sehe 27. September 2019 (nach 15 Jahre Lowdots);  by the way wo wird \dotsb und \dotsc erklärt?   (2) Im DIN-Taschenbuch 202 - Formelzeichen, Formelsatz, mathematische Zeichen und Begriffe, 3. Auflage 2009, sind es Lowdots in a₀ + a₁ + ... (S. 259) und in k₁ + ... + k_n (S. 267).  Also bleibt meine Frage: gibt es expliziten Vorschriften für WPde ? --

Inkorrekte und korrekte Nomenklatur (geplaatste versie, 23-10)

- - - Reihe-Begriff = Summe-Ausdruck?  Es gibt Autoren die eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,=\,(\sum _{k=0}^{n}a_{k})\,}$ bezeichnen als  "zu $(a_{k})$ gehörende unendliche Reihe" oder "Reihe mit den Gliedern $a_{n}$".  Autoren die zugleich die Glieder der Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ nicht als "Glieder der Reihe",  die Teilsummen von ${\textstyle (s_{n})\,}$ nicht als "Teilsummen der Reihe"  und die Summe von ${\textstyle (s_{n})\,}$ nicht als "Summe der Reihe"  bezeichnen.   (Siehe: M. Barner, F. Flor, Analysis I; H. Heuser, Lehrbuch der Analysis-Teil 1; R. Remmert, Funktionentheorie I; K. Endl, W. Luh, Analysis I; u.a.)

Klappbox (concept uitbreiding van versie 23-10-2021)

Siehe (eerste drie titels horen niet in deze Reihe=Teilsummenfolge rubriek):

M. Rose, Einleitung in die Funktionentheorie (Theorie der komplexen Zahlenreihen), (Sammlung Göschen 851) 1. Aufl. 1912

S. 51.  Verbinden wir die aufeinanderfolgenden Glieder der Zahlenfolge durch Pluszeichen, so erhalten wir den Ausdruck  w₀+w₁+w₂+...+w_n-1+... ,  den wir eine unendliche Reihe oder kurz eine Reihe nennen.

K. Knopp, Funktionentheorie - I Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, (Sammlung Göschen 668) 1. Aufl. 1913

S. 71.  Der Begriff der Konvergenz einer unendlichen Reihe ist aufgestellt von Max Rose Einleitung in die Funktionentheorie (Theorie der komplexen Zahlenreihen) 1912, S. 51 ['eine Ausdruck mit Pluszeichen']

K. Knopp, idem, 2. Aufl. 1918

S. 18.  Man sagt: Die Zahlenfolge x_n konvergiert gegen $l$ oder strebt gegen den Grenzwert $l$.

S. 73.  Es sei  f₀(z), f₁(z), ..., f_n(z), ...  eine unendliche Folge beliebiger Funktionen. [..] so kann die Reihe  f₀(z)+f₁(z)+f₂(z)+...  konvergent sein oder nicht.

K. Knopp, Elemente der Funktionentheorie (Sammlung Göschen 1109), 1. Aufl. 1937 (ähnlich 4. Aufl. 1955 )

S. 79.  Von der Zahlenfolge selbst sagt man, sie sei konvergent mit dem Grenzwert $\zeta$ oder sie strebe gegen $\zeta$.

S. 83.  (etwas komprimiert:) Die aus eine erste Zahlenfolge (c_n) hergeleitete Zahlenfolge (s_n) = (c₀+c₁+...+c_n) bezeichnet man kurz durch das Symbol  (2) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\,}$ oder einfach ${\textstyle \sum c_{n}\,}$ und nennt sie eine unendlichen Reihe, die c_n ihre Glieder, die s_n ihre Teilsummen. Das Symbol (2) bedeutet also die Folge der Teilsummen (s_n). Ist diese letztere konvergent, so nennt man auch die Reihe (2) konvergent. Der Grenzwert der Folge (s_n) wird als der Wert oder als die Summe der Reihe bezeichnet.

Zu beachten: In 1913 und 1918 (Sammlung Göschen 668) war 'eine Reihe' für Knopp nicht eine Teilsummenfolge, aber einen Ausdruck mit Pluszeichen.

K. Knopp, Funktionentheorie - I Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, (Sammlung Göschen 668) 5. Aufl. (vollständig neu bearbeitet) 1937

S. 17.  Man sagt: Die Zahlenfolge  z₁, z₂, ..., z_n, ...  konvergiere gegen den Grenzwert $\zeta$.

S.18.  Wird eine Zahlenfolge (z_n) mittelbar dadurch gegeben, daß mit Hilfe einer unmittelbar gegebenen Zahlenfolge (a_n) die Summen [..] gebildet werden, so bezeichnet man solche Zahlenfolgen auch kurz mit  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ und spricht von einer "unendlichen Reihe" mit den Glieder a_n .  Die z_n heißen deren "Teilsummen".   Sehe: Knopp Elementen der Funktionentheorie (Sammlung Göschen 1109) 1. Aufl. 1937

S. 66-67.  Es sei  f₀(z), f₁(z), ..., f_n(z), ...  eine unendliche Folge beliebiger Funktionen. [..] so kann die Reihe  f₀(z)+f₁(z)+f₂(z)+...  konvergent sein oder nicht.

K. Knopp, idem, 9. Aufl. (neubearbeitet) 1957

S. 12.  Auch die Lehre von den Zahlenfolgen und die unendlichen Reihen, insbesondere von Potenzreihen, muß den Leser in den Hauptzügen kennen.   Sehe: Knopp Elementen der Funktionentheorie (Sammlung Göschen 1109) 1. Aufl. 1937

S. 69-70.  Es sei ...........(wie im 5. Aufl. 1937)

K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1922, 1924, 1931, 1947, 1964, 1996

1. Aufl. 1922, S. 94: Eine unendliche Reihe ist ein neues Symbol für die Folge seiner Teilsummen.

6. Aufl. 1996, S. 100: Man nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe [..] Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ........ mit dem die Folge (s_n) der Teilsummen gemeint ist.

K. Knopp, H. v. Mangoldtst's Einführung in die höhere Mathematik - sweiter Band

6. Aufl. 1932, S. 203: Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form .. odr .. odr .., bei dem die Glieder an eine irgendwie gegebene Zahlenfolge bilden. Diese Zeichen soll nichts anderes bedeuten als die Folge (sn) der sogenannten Teilsummen oder Abschnitte... .

(begin van concept:)

Deutschsprachige Quellen mit der paradoxen 'Definition':  Reihe := Teilsummenfolge

Weil

      Summe  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Summe  der Teilsummefolge der Folge mit Gliedern an   
    Glieder  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Glieder  der Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern an
 Teilsummen  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Teilsummen  der Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern an 
Alternieren  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Alternieren  der Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern an

kann   "Reihe mit Gliedern a_n"   NICHT gleichwertig sein mit   "Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern a_n" .

Und also sollten Quellen wie im nachstehende Klappbox NICHT verwendet werden zur Erklärung eines mathematischen Fachworts  'Reihe'.   KONSENS?

Zitate mit der paradoxen 'Definition':  Reihe = Teilsummenfolge;  chronologisch K. Knopp, Elemente der Funktionentheorie (Sammlung Göschen 1109), 1. Aufl. 1937, S. 83 (ähnlich 4. Aufl. 1955 )

(etwas komprimiert:) Die aus eine erste Zahlenfolge (c_n) hergeleitete Zahlenfolge (s_n) = (c₀+c₁+...+c_n) bezeichnet man kurz durch das Symbol  (2) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\,}$ oder einfach ${\textstyle \sum c_{n}\,}$ und nennt sie eine unendlichen Reihe, die c_n ihre Glieder, die s_n ihre Teilsummen.

Das Symbol (2) bedeutet also die Folge der Teilsummen (s_n). Ist diese letztere konvergent, so nennt man auch die Reihe (2) konvergent. Der Grenzwert der Folge (s_n) wird als der Wert oder als die Summe der Reihe bezeichnet.

K. Knopp, Funktionentheorie - I Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, (Sammlung Göschen 668) 5. Aufl. (vollständig neu bearbeitet) 1937, S. 18

Wird eine Zahlenfolge (z_n) mittelbar dadurch gegeben, daß mit Hilfe einer unmittelbar gegebenen Zahlenfolge (a_n) die Summen [..] gebildet werden, so bezeichnet man solche Zahlenfolgen auch kurz mit  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }}$a_n  und spricht von einer "unendlichen Reihe" mit den Glieder a_n .  Die z_n heißen deren "Teilsummen".

O. Haupt, G. Aumann, Differential- und Integalrechnung - Unter besondere Berücksichtiging neuerer Ergebnisse, I. Band: Einführung in die reelle Analysis, 1938, S. 49

die "Reihe" ist - wenigstens für uns - gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen;  die $a_{\nu }$, durch deren Addition die Teilsummen entstehen, heißen die Glieder der Reihe. [..]

K. Endl, W. Luh, Analysis I, 2. Aufl. 1973, S. 31 (1. Aufl. 1972, auch 1994)

Gegeben sei eine Folge {a_ν}. Die Folge {s_n} = {a₁+...+a_n}  nennen wir eine unendlichen Reihe  [..]  s_n wird n-te Teilsumme der Reihe genannt.

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis-Teil 1, 1. Aufl. 1980, S. 187 (17. Aufl. 2012)

Die (unendlichen) Reihe mit den Gliedern a₀, a₁, a₂, ... , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen.

O. Forster, Analysis 1 - Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 4. Aufl. 1983, S. 23

Die Folge s_n der Partialsummen heißt (unendlichen) Reihe und ...

R. Remmert, Funktionentheorie I, 1. Aufl. 1984, S. 20

Ist (a_ν) eine Zahlenfolge, so heißt die Folge (s_n) der Partialsummen  eine (unendlichen) Reihe mit den Gliedern a_ν .

"Partialsummen der geometrische Reihe"  [..]  "Glieder konvergenter Reihen".

K. Burg, H. Haf, F. Wille, Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I, 1. Aufl. 1985, S.74 (11. Aufl. 2017)

Die Zahlenfolge (s_n)  = (a₀+a₁+...+a_n)   heißt die unendliche Reihe mit den Gliedern a₀, a₁, a₂, ... .

M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 4. Aufl. 1991, S. 141 (1. Aufl. 1974, auch 2011)

Es sei (a_k) eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung  s_n = ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{n}}$a_k  wird eine Zahlenfolge (s_n) definiert, die man als die zu (a_k) gehörende unendlichen Reihe bezeichnet.

G. Schmieder, Analysis - Eine Einführung für Mathematiker und Informatiker, 1994, S. 49

Es sei (a_k) eine Zahlenfolge. Die Folge (s_n) heißt eine (unendliche) Reihe.

G. Walz, Lexikon der Mathematik - Reihe, 1. Aufl. 2000

Reihe, die Folge der Partialsummen einer gegebenen Folge.

Die einzelnen a_ν bezeichnet man als 'Summanden" oder "Glieder" der Reihe (s_n) .

G. Walz, Lexikon der Mathematik - Summenfolge, 1. Aufl. 2000

Gelegentlich wird der Ausdruck Summenfolge auch als Synonym zum Begriff Reihe verwendet.

Zu beachten.  Ist hier vielleicht gemeint:  "Die Namen 'Summenfolge' und 'Reihe' (für die Abbildung a₁, a₂, ... → a₁, a₁+a₂, ... ) sind synonym?

K. Königsberger, Analysis 1, 6. Aufl. 2004, S. 59

Die Folge (s_n) = (a₁+a₂+...+a_n) heißt unendliche Reihe oder kurz eine Reihe. [..] Die Zahlen an heißen die Glieder, die Zahlen s_n die Partialsummen der Reihe.  Die Zahl s = lim_n→∞ s_n  heißt die Summe oder der Wert der Reihe.

E. Freitag, R. Busam, Funktionentheorie I, 4. Aufl, 2005 (ins Englische übersetzt, 2005), S. 25

Die Folge {S_n} wird auch die zur Folge (a_k) gehörende Reihe genannt.

H. Amann, J. Escher, Analysis I, 3. Aufl. 2006, S. 195 (ins Englische übersetzt, 2005)

Es sei $(x_{k})$ eine Folge in E. Dann heißt die Folge (s_n) ${\textstyle \,:=\left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)}$  Reihe in E

R. Busam, T. Epp, Prüfungstrainer Analysis, 2. Aufl. 2013, S. 83

Unter der einer Folge (a_k) zugeordnete Reihe  versteht man die Folge (s_n) der (partial-)Summen

H. Junek, Analysis: Funktionen - Folgen - Reihen, 2013, S. 46 (ähnlich in 1. Aufl. 1998)

Unter einen unendlichen Reihe ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ versteht man die Folge der Partialsummen ${\textstyle \,s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ von $(a_{k})$.

Die Reihe heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert, ...

Zu beachten.  Kombiniert steht hier:  ... wenn  die Folge der Partialsummen von  die-Folge-der-Partialsummen-von-$(a_{k})$  konvergiert.

M. Merz, M.v. Wüthrich, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 2013, S. 298

Die Folge (s_n) der Partialsummen von (a_n)  wird als (unendliche) Reihe bezeichnet. Die Zahlen a_n heißen Reihenglieder.

K. Sydsaeter, c.s., Mathe für Wiwis, 3. Aufl. 2013

Eine Reihe (s_n) ist eine Folge der Partialsummen einer Folge (a_n).

O. Forster, Analysis 1 - Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 12., verbesserte Aufl. 2016, S. 43

Aus einer Folge reeller Zahlen entsteht eine (unendliche) Reihe, indem man, grob gesprochen, die Folgenglieder durch ein Pluszeichen verbindet.

Die Folge (s_m) der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe mit den Gliedern a_n  [..]  Die Grenzwert der Partialsummen heißt Summe der Reihe.

S. Kulla; Serlo Education, Analysis Eins - "Mathe für Nicht-Freaks", 1. Aufl. 2017, S. 158-9

Wir definieren zunächst die Folge der Partialsummen als Reihe.

Die Partialsummenfolge ist eine gewöhnliche Folge.

Zu beachten.  Hier fehlt der Unterschied zwischen  (a) die Name 'Partialsummenfolge' (auch 'Teilsummenfolge', 'Summenfolge') für die - einzigartige - Abbildung  Zahlenfolge a₁, a₂, ... → Zahlenfolge a₁, a₁+a₂, ... ,  und (b) die Name 'Partialsummenfolge einer Folge a-n'  für eine "gewöhnliche" Folge. (Die Quadratenfolge kann bezeichnet mit 'Partialsummenfolge der Folge (2n-1)', aber ist die Quadratenfolge deshalb eine Reihe, oder unendliche Summe?)

Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Erste Hilfe in Mathe (Website), 2021

Unter  der Reihe a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + ···  verstehen wir die Folge der (Partial-)Summen s₀=a₀, s₁=a₀+a₁, s₂= ...

Hat man eine arithmetische oder geometrische Folge, so gilt für die dazugehörende Reihe .....

Für die Partialsummen der arithmetische Reihe gilt .....

Zu beachten:

"Die Glieder der Abbildung  n→s_n"  bezeichnet nicht nur die Zahlen  s₀, s₁, s₂, usw.,  aber auch (für diejenigen, die dieser Abbildung nicht 'Teilsummenfolge' aber 'Reihe' nennen) die Zahlen  s₀,  s₁ - s₀,  s₂ - s₁, usw.

"Die Partialsummen der Abbildung n→s_n"  bezeichnet nicht nur die Zahlen  s₀,  s₀+s₁,  s₀+s₁+s₂, usw.  aber auch (für diejenigen, die dieser Abbildung nicht 'Teilsummenfolge' aber 'Reihe' nennen) die Zahlen   s₀, s₁, s₂, usw.

}} -- (gesperrt für ANR)

T.M. Apostol, Mathematical analysis - A Modern Approach to Advanced Calculus, 1st ed. 1957 (6th printing 1973) p. 355

Let {an} be a given sequence of real or complex numbers. Form a new sequence {sn} = {a1+...an}. A sequence formed in this way is called a (infinite) series. The number sn is called the nth partial sum of the series and an is called the nth term of the series.

T.M.Apostol, Calculus (Vol. 1, One=Variable Calculus, with an Introduction to Lineair Algebra), Second ed. 1967, p. 383 (First ed. 1961)

From a given sequence of real or complex numbers we can always generate a new sequence by adding together successive terms. The sequence of partial sums is called an (infinite) series.

In 1974 Apostol changed over to the Bourbaki-'definition' (the ordered pair of sequences ({an},{sn}) ) in the second edition of his Mathematical Analysis.

Apostol 1957, 1973

Bartle 1964

Bak-Lichtenberg 1966

Apostol 1967

Stanaitis 1967

Duncan 1968

Rosenlicht 1968

Johnson Kirkomeister 1969, 1978

Burrill-Knudsen 1969

Gemignani 1971

Salas 1974

Hurley 1980

Grabiner 1981 (p. 100)

Stein 1982

Bartle-Sherbert 1982, 2000

Allen-Chui-Perry 1983

Fischer 1983

Hurley 1987

Depree-Schwartz 1988

Fraleigh 1990

Leithold 1990

Stein-Barcellos 1992

Staff 2008

Beck 2018

Alsosaid: WP "Real Analysis": series = a formal mathematical object. David Eppstein: "Formal sum"= In the study of series (mathematics), a sum of an infinite sequence of numbers or other quantities, considered as an abstract mathematical object regardless of whether the sum converges.

Weg(?):

Reihe = Ausdruck / Expression? Reihe = Paar (Folge, Teilsummenfolge) ?

Bleibt nur "Folge" zu sehen als modernere Alternative für das uralte "Reihe" (mit "konvergente Reihe" = "summierbare Folge").   KONSENS? -- sperre

(Is it surprising that non-indoctrinated students Panic at the mention of 'series'?)

Ende Klappbox

Dies scheint mir sprachlich inkorrekt, und für Leser verwirrend. Kein Wunder das ein Kapitel 'Infinite Series' anfängt mit:  "Most students of mathematics who have completed calculus feel competent in the techniques of differentiation and integration, but they may panic at the mention of infinite series."  (Edward D. Gaughan, Introduction to Analysis, 1968-2010, [17]).

- - - Vergleich mit Cauchy.   A.L. Cauchy verwendete in alle seiner Publikationen:

(1) das Substantiv 'suite'  nur beim definieren des Fachworts 'série'  ;

(2) das Substantiv 'série'  konsequent nur für was modern suite des nombres / Zahlenfolge heißt ;

(3) das Adjektiv 'convergente'  ( 'une série convergente' )  nur für das Zusammenlaufen der Teilsummen ( ! ) einer 'série' / Folge,  modern: suite sommable / summierbare Folge ;   niemals: 'la série converge'  für  'la série est convergente' ;

(4) Formen des Verbs 'converger'  nur für approcher (une limite) / (ein Grenzwert) nähern ;

(5) die Ausdruck $\,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}+$&c. . . .  nur für den Summenwert der Folge $(u_{n})$ .

                          Anmerkunge / Quellen Ad 1,2.  Zitat Cauchy 1821, 1823, 1829, 1833 : "On appelle série une suite indéfinie de quantités $\,u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,$&c. ...  qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée."  [18], [19], [20]

Im 18. und 19. Jh. hatten alle hier dasselbe wie Cauchy.  Quellen: 1750 Cyclopaedia-Chambers ("SERIES, in algebra, denotes a rank or progression of quantities..."), 1765 Encyclopedie-Diderot/D'Alembert ("SERIE ou SUITE, en Algèbre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui..."), 1775 Saladin ("On appelle Série une Suite de termes consecutifs qui..."), 1793 Lorenz ("Eine Reihe, series, heißt eine Menge von Größen, deren jede..."), 1815 Raupach ("Eine Reihe heißt eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."), 1819 The Cyclopaedia-Rees ("SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding..."), 1827 Ettingshausen ("Eine Folge von Größen, welche..., heißt eine Reihe".), 1827 Littrow ("Reihe ist eine Anzahl von Zahlen ... die nach einem bestimmten Gesetze fortgehen."), 1836 Burg ("Eine nach irgend einem Gesetze gebildete Folge von Größen wird Reihe ...genannt."), 1845 Thomson ("The series which are treated of in mathematics are successios of quantities, each of which..."), 1846 Buchanan ("SERIES - In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding..."), 1848 Wood ("An infinite series is a series of terms proceeding according to some law ..."), 1855 Hembyze ("Jede Folge von Zahlen, die..., nennt man eine Reihe"), 1856 Briot ("On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent..."), usw.

Ad 3.   Im 18. und 19. Jh. waren 'summi(e)rbare Reihe', 'convergi(e)rende Reihe' und 'convergente Reihe' nach fast alle Autoren (nicht Cauchy) austauschbar. Alle drei bedeuteten: Zahlenfolge mit zusammenlaufende Partialsummen. Quellen für 'summirbar': 1773 de Marguerie ("la sommation des suites algébriques sommables"), 1823 Klügel/Mollweide ("Summirung der Reihen" "summirbare Reihen"), 1827 Ettingshausen ("Die Reihe .... sey summirbar, oder sie convergire"), 1829 von Forstner ("sind diese Progressionen summirbar"), 1833 Schön ("die Reihe ist convergirend oder summirbar"), 1836 Burg ("so sagt man die Reihe convergire oder sey summirbar"), 1857 Hembyze (Man theilt...die unendlichen Reihen in summirbare oder convegirende, und in nicht summirbare over divergirende ein"), usw.

Ad 3,4  Zitat (Cours d'Analyse S. 124-125) mit sowohl  'série convergente'  als  'converger' :  "pour que  la série $\,u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\ldots u_{n},\,u_{n+1},\,$&c. . . .  soit  convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de $n$ fassent  converger indéfiniment la somme $\,s_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\,$&c. . . . $+\,u_{n-1}\,$ vers une limite fixe $s$" . [21]

Cauchys Bedeutungsunterschied zwischen 'convergente' und (Formen von) 'converger' scheint wenig gefolgt zu sein, nicht einmal von seinen Übersetzer Huzler 1828 S.92, Schnuse 1836 S.94, und Itsigsohn 1885 S.87.   Zitat Huzler [22] S. 92:  "Sechstes Capitel. Von den  convergirenden und  divergirenden Reihen." (Cauchy: séries convergentes et divergentes),  und  "Wenn, für immer zunehmende Werthe von n, die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s unendlich nähert, so ist die Reihe  convergirend, " (Cauchy: la série sera dite convergente).   Anderes Beispiel, 1833 Klügel/Grunert: "so heißt die Reihe convergent oder convergirend, und s heißt ihre Summe" .

Ad 5.  Zitat (Cours d'Analyse S. 129-130): "On indique généralement la somme d'une série convergente par la somme de ses premiers termes suivi d'un  &c. . . . "   [23].  Viele Autoren verwenden, im Gegensatz zu Cauchy, $\,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots \,$ auch für eine Zahlenfolge / 'série' $\,(u_{n})$,  und später (20. Jh.) auch für ihre Partialsummenfolge.

- - - Schluss.  Ich achte es wünschenswert die Inkorrektheit von gängige 'Definitionen', sowie das einwandfrei sein der Nomenklatur von Cauchy (mit vorzugsweise die Namen  Folge, summierbar, Summierbarkeit  für Cauchy's  'série' , 'convergente' , 'convergence' ), im Lemma 'Reihe (Mathematik)' explizit zu erwähnen.   KONSENS ? -- Hesselp (Diskussion) 22:47, 23. Okt. 2021 (CEST) (gesperrt für ANR)

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N-Abbildungen und Konvergenz: Nomenklatur

Startpunkt hier ist Cauchy. Er gibt Definitionen für  'série' ,  'série convergente'   und  'somme d'une série' , mindestens viermal:

"On appelle série une suite indéfinie de quantités  u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ...  qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée [ou: une loi connue].   [...]   Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série.

(Klappbox met links en pag, nrs ; Quellen Cauchy-Definitionen 1821, 1823, 1829, 1833)

Ohne explizite Definition benutzt Cauchy sehr oft Formen des Verbs 'converger' , was steht für  'nähern'  oder  'ein Grenzwert nähern' .   kann er das Adjektiv 'convergente' und das Verb 'converger' kombinieren in:

pour que la série  u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n, u_n+1, &c. ...  soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme  s_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n-1  vers une limite fixe s

(Klappbox met links....p. 124-125...??)

In der ersten Deutsche Übersetzung der Cours d'Analyse (.....S. 92.......Huzler, 1828) wurde dies:

Eine unbestimmte Reihenfolge von Größen  u₀, u₁, u₂, u₃, etc. ...  welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander abgeleitet werden kann, heißt  e i n e  R e i h e .   [...]   Wenn, für immer zunehmende Werthe von n, die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s unendlich nähert, so ist die Reihe  c o n v e r g i r e n d , und die besagte Grenze heißt alsdann  d i e  S u m m e  d e r  R e i h e ."   Und: (S. 93)

"Soll die Reihe  u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n, u_n+1, etc. ...  convergiren, so ist es nothwendig, aber auch hinreichend, daß, bei immer zunehmenden Werthen von u, die Summe  s_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n-1   sich einer bestimmten Grenze s nähere".

Also:   'la série  u₀, u₁, u₂, u₃, etc. ...   est convergente'   wird   'u₀, u₁, u₂, u₃, etc. ...   ist eine convergirende Reihe'.

Und   'pour que la série  u₀, u₁, u₂, u₃, etc. ...   soit convergente'   wird   'soll die Reihe  u₀, u₁, u₂, u₃, etc. ...   convergiren' .

Wo auf Französisch converger steht für zusammenlaufende Glieder, steht auf Deutsch convergiren für zusammenlaufende Teilsummen.

Grabiner 1981: p. 100: The crucial fact is not whether the terms converge to zero, but whether THE SERIES ITSELF - that is, the sums of terms- converges to a limit [the 'series' is defined as the sums of the terms of the series; CYCLIC!!] https://archive.org/details/originsofcauchys00judi

Anders bij Schnuse und Itzigsohn

'Convergence de séries' und 'Convergenz der Reihen' überall Summenkonvergenz, nicht Gliedernkonvergenz. Und überall das Wort  "série"  für 'suite de nombres', und das Wort  "Reihe"  für 'Folge von Zahlen'.

Toen nog geen problemen met mensen die menen dat "Reihe" niet alleen gebruikt wordt als naam voor een Abbildung auf N in eine Menge mit.........) maar ook als naam voor nog een tweede in de analyse gebruikt wiskundig begrip.

Nomenklatur van notaties. Grabiner 1981: p. 99, 102, 104, 105, 107, 108, 111, (+++ ipv ,,,bij Cauchy) https://archive.org/details/originsofcauchys00judi

Citaten van Gauss (Werke Band X - 1, S. 400 ..., 5 Arten von Reihen: divergent, schwankend, convergent zu einem nichtnull Grenzwert, schlechthin convergent (lim=0): Summationsgrenzwert oder nicht.

Für reelle und komplexe Folgen

Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge $\left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}$ gegeben, kann man aus ihr eine neue Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ der Partialsummen bilden. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n+1$ Glieder von $\left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}$, ihre Definition lautet:

$s_{n}:=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}.$

Die Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ der $n$-ten Partialsummen heißt Reihe. Falls die Reihe (also die Folge der Partialsummen) konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}a_{j}$

den Wert der Reihe oder die Summe der Reihe. Dieser ist eindeutig bestimmt und wird meistens als $\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}$ notiert.

Für reelle und komplexe Folgen

Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge $\left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}$ gegeben, kann man aus ihr eine neue Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ der Partialsummen bilden. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n+1$ Glieder von $\left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}$, ihre Definition lautet:

$s_{n}:=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}.$

Die Folge der $n$-ten Partialsummen einer Folge $\left(a_{j}\right)$, heißt  Reihe mit Glieder $a_{j}$.
Falls eine Reihe mit Glieder $a_{j}$ (also die Folge der Partialsummen einer Folge $\left(a_{j}\right)$) konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}a_{j}$

den Wert der Reihe mit Glieder $a_{j}$  oder  die Summe der Reihe mit Glieder $a_{j}$  oder   die Summe der Folge $\left(a_{j}\right)$.
Dieser ist eindeutig bestimmt und wird meistens als $\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}$ notiert.

....Wenn man spricht von 'eine Folge von Partialsummen' (oder von: die Folge der Partialsummen), soll (explizit oder implizit) klar sein, aus welche Folge die Teilsummen gebildet sind. Und das gilt auch wenn man "Reihe" sagt statt "Partialsummenfolge".
.....Das Wort 'Glieder' in der Name 'Reihe mit Glieder $a_{j}$'  hat nicht ihres normalen Bedeutung: es steht (abgesehen vom Anfangsglied) für die Glieder der Differenzenfolge der bezeichneten Folge.
......Diese Name kann verwirrend sein. Weil man spricht von den Wert eines Ausdrucks, nicht von den Wert einer Folge. Ebensowenig von den Wert der Partialsummenfolge einer Folge.
......Auch diese Name ist inkonsequent, weil es den Gliedergrenzwert einer Folge betrifft und nicht ihrer Summengrenzwert.

Eine Reihe ist also nichts anderes als einen Ausdruck (nicht: Folge) spezieller 'Bauart'   -   KONSENS?

Im Abschnitt 'Definition' von Reihe (Mathematik),  sagt Satz 6: "Eine Reihe ist also nichts anderes als eine Folge spezieller 'Bauart', deren Glieder rekursiv durch $s_{0}:=a_{0}$ und $s_{n+1}:=s_{n}+a_{n+1}$ definiert sind."   Dies ist aber nicht ein entscheidend Kriterium.

Beispiel 1. Die Folge der wachsenden Quadratzahlen $(Q_{n})=1,4,9,16,\cdots$  lässt sich sowohl rekursiv als nicht-rekursiv definieren:

- $\ Q_{1}=1$ und $\ Q_{n+1}=Q_{n}+(2n{+}1)\ \scriptstyle (n\,=\,1,\,2,\,\cdots )\ \$ (rekursiv, also Reihe);

- $\ Q_{n}=n^{2}\ \scriptstyle (n\,=\,1,\,2,\,\cdots )\ \$ (nicht-rekursiv, also keine Reihe);

- ${\textstyle \ Q_{n}=\sum _{i=1}^{n}1^{i}{\cdot }\,n\ \ \scriptstyle (n\,=\,1,\,2,\,\cdots )\ \ }$ (nicht-rekursiv, also keine Reihe).

Beispiel 2. Ist die harmonische Folge ${\textstyle (H_{n})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\cdots \ }$ eine Reihe oder nicht?

- $\ H_{1}=1$ und ${\textstyle \ H_{n+1}=H_{n}+{\frac {-1}{n(n+1)}}\ \scriptstyle (n\,=\,1,\,2,\,\cdots )\ \ }$ (rekursiv, also Reihe);

- $\ H_{n}=n^{-1}\ \scriptstyle (n\,=\,1,\,2,\,\cdots )\ \$ (nicht-rekursiv, also keine Reihe).

Es gibt – soweit mir bekannt – auch keine renommierte Quelle für die zitierte Aussage.   Also nicht im Artikel stehen lassen. KONSENS?

Zwei Bedeutungen  Wenn das Wort "Reihe" vorkommt in einem mathematischen Text (Analyse), gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten für was der Autor gemeint hat:

- Eine Kombination zweier Ausdrücke:  für eine Folge, und für die Abbildung  Folge → Teilsummenfolge.  (Zusammen eine Bezeichnung einer Folge: die Teilsummenfolge der beschriebene Folge.)   -   Belege: Konrad Knopp, (1) Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Auflage 1922, S. 93-99, bis 6. Auflage 1996, S. 100-106;   (2) H. v. Mangoldt’s Einführung in de höhere Mathematik, 6. Auflage 1932, S. 201-209, bis 14. Auflage 1974, S. 194-201;   (3) Infinite Sequences and Series, 1956, p. 2, 44 .

- Die traditionelle Bedeutung:  eine Sequenz/Progression/Folge von Größen/Zahlen   -   Belege: (1) die hier in Punkt 2 genannte Quellen,   (2) die hier genannte Beispiele.

KONSENS? -- (gesperrt für ANR)

Heutige Bezeichnungen für Begriffe welche damals anders genannt wurden. – KONSENS?

Meine Antworten auf die fünf Fragen am Ende dieser Beitrag, 18. Aug. 2021:

(1) Traditionell: "Reihe",  modern: "Zahlenfolge", in speziellen Kontexten auch "Reihe"   -   KONSENS?

(2) Traditionell: "konvergente Reihe" (auch "summierbare Reihe"),  modern: "summierbare Folge"   -   KONSENS?

(3) Traditionell: "harmonische Reihe",  modern: "harmonische Folge"   -   KONSENS?

(4) Traditionell: "Potenzreihe",  modern: "Folge mit Glieder $\,a_{n}x^{n}\,$ ",  "Potenzfunktionenfolge" (keine Quellen gefunden, also POV)   -   Beleg: Hans von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik –zweiter Band, 5. Auflage 1929, S. 205:  "Jede Potenzreihe hat die Form $\ a_{0};\ a_{1}x;\ a_{2}x^{2};\ a_{3}x^{3};\ \cdots \$".   -   KONSENS?

(5) Traditionell: "Taylorreihe" (auch "Taylorsche Reihe"),  modern: eine Ausdruck spezieller Bauart für eine (auf eine andere Weise) gegebene Funktion $f$ und gegebene Zahl $a\,$.  Präzise: ein Ausdruck für die Folge $\ f^{(n)}(a)\cdot (x-a)^{n}/n!\ \scriptstyle (n\,=0,\,\,1,\,2,\,\cdots )\ \$, kombiniert mit einem Ausdruck für die partielle Funktion: Folge → Grenzwert ihrer Teilsummen.   Auch heute noch immer "Taylorreihe" genannt.   -   Beleg: In der Brockhaus, 14. Auflage, 3. Nachdruck 1908, 15. Band S. 650, heißt es "Taylorscher Lehrsatz" und "Taylorsche Formel" [24].   -   KONSENS? -- (gesperrt für ANR)

Reihe (1929, von Mangoldt) wird Folge (1932, Knopp)

In den letzten Jahrzehnten . . . Sprachgebrauch durchgesetzt. (Konrad Knopp, 1932) Noch ein Beleg bei meinem [ Vorschlag 17. Mai]: Hans von Mangoldt (1854-1925) versus Konrad Knopp (1882-1957) (vet?)

Hans von Mangoldt, ''Einführung in die höhere Mathematik" (1. Aufl. 1912 - 5. Aufl. 1929):

- Zweiter Band 5. Aufl. 1929, S. 171, Zitat. Man denkt sich, unter n eine aller ganzzahligen positiven Werte fähige Veränderliche verstehend, irgenddeine Funktion un von n erklärt und sodann die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe durch die ihnen entsprechenden Werte dieser Funktion ersetzt. Das Ergebnis u1; u2; u3; ... einer solcher Umwandlung heißt jedesmal eine (vet) unendliche Reihe [..].

- Zweiter Band 5. Aufl. 1929, S. 174, Zitat. Eine unendliche Reihe mit konstanten Gliedern heißt <vet>konvergent, wenn die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positioeven Zahl n einem Grenzwert zustrebt [..].

Das Wort "Folge" kommt an keiner Stelle vor in v. Mangoldt's erster, zweiter oder dritter Band (Auflage 1-5) .

''H. v. Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik [..] seit der sechsten Auflage neu herausgegeben und erweitert von Konrad Knopp'' (6. Aufl. 1932 - 17. Aufl. 1990):

- Zweiter Band, 11.Aufl. 1958, S. 198, Zitat. Die Worte "Folge" und "Reihe" werden, wie im täglichen Leben so auch in der Mathematik, nicht immer streng geschieden. So spricht man statt von der F o l g e der natürlichen Zahlen auch häufig von der natürlichen Zahlen r e i h e. Es ist aber für unsere Zwecke unerläßlich, hier einen Unterschied zu machen. In den letzten Jahrzehnten hat sich in der Mathematik allgemein der in den Erklärungen von I, Nr. 67 und der obigen Nr. 71 festgelegte Sprachgebrauch durchgesetzt.

- Erster Band, 11. Aufl. 1958, Nr. 67 Zahlenfolgen, S. 151, Zitat. Erklärung 1. Wenn auf Grund einer bestimmten Vorschrift den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... je eine gewisse Zahl x1, x2, x3, ... zugeordnet ist, so sagt man, daß diese Zahlen x1, x2, x3, ... in dieser den natürlichen Zahlen entsprechenden Anordnung eine (vet)Zahlenfolge bilden.

- Zweiter Band, 11. Auflage 1958, Nr. 71 Unendlichen Reihen, S. 196, Zitat. Erklärung. Eine (vet)unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form..............oder.........oder..........bei dem die Glieder an eine irgendwie gegebene Zahlenfolge bilden. Dieses Zeichen soll zunächst nichts anderes bedeuten als die Folge (sn) der sogenannten Teilsummen oder Afschnitte sn = ................ .

Differenzenfolge

Version vom 28. Juni 2008, 10:44 Uhr (Bearbeiten) (rückgängig) 217.248.87.128 (Diskussion)

(Erwähnen von ''Differenzenreihe'' (vgl. Disk. auf der QS-Math.) und Größe der Überschriften < , FigurierteZ / PolygonalZ)

Die Differenzenfolge (manchmal auch Differenzenreihe, obwohl es keine Reihe im üblichen Sinne ist) einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der Mathematik durch Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Folgengliedern.

Variant (want "Differenzenreihe einer gegebene Zahlenfolge" komt nooit voor):

Die Differenzenfolge einer gegebenen Zahlenfolge (auch: Differenzenreihe einer gegebenen Zahlenreihe), entsteht in der Mathematik durch Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Gliedern.

Sollten drei Bedeutungen von "Reihe" erläutert werden, oder nur eine?

Ich lese im heutigen Text von Reihe (Mathematik):

- Einleitung Satz 2:  Reihe = eine Summe . . . mit unendlich vielen Summanden  (Anschaulich)
(Hesselp: Wer hat je unendlich vielen Summanden angeschaut?)

- Einleitung Satz 3:  Reihe = eine Folge . . . deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind  (Präzise)
(Hesselp: Also ist jede Folge mit existierenden Gliederdifferenzen, eine Reihe. Und jede Zahlenfolge ist eine Reihe.)

- 'Definition' Satz 3:  Die Grenzwert einer Reihe nennt man die Summe der Reihe.
(Hesselp: Also Grenzwert = Summe ?  Aber die Grenzwert einer Folge nennt man nicht Summe der Folge.)

Und in Folge (Mathematik) - Angabe als Reihe:

- Satz 8, 9:  Man kann jede Folge als eine Reihe auffassen, [..] Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar.
(Hesselp: "nicht scharf trennbar", oder gar nicht trennbar?   Bis zirka 1900 war "Folge" kein Fachwort in der Mathematik, man sagte immer "Reihe" statt "Folge". Und "konvergente Reihe" statt "summierbare Folge")

- Satz 12, 14, 15:  Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, [..] Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es [..] Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien.
(Hesselp:  Was bedeutet "Deutung" in der Mathematik? Wieso "eigene Kriterien für Reihen" wenn Reihen nicht scharf von Folgen zu trennen sind?)

Wenn ich das kritisiere, wird gedroht mit "auf Dauer eine VM [Vandalismusmeldung] machen" und "administerielle Untersagung [Sperre]".  Auf die Seite Benutzer Diskussion:Kmhkmh habe ich gezeigt (auf english) wie es mMn besser kann.

Wer unterstützt der Ansicht dass das Wort "Reihe" im Teilgebiet der Analysis in drei verschiedene Bedeutungen gebraucht wird, und dass das WP-Artikel diesen Unterschied zeigen muss? Und wer meint andererseits dass im Analysis nur eine Bedeutung vorkommt und dass es genügt dieser einzelne Bedeutung zu erläutern? --

Wikipedia in optima forma !   "Ohne das WIR anfangen",   "unnötige Arbeit für UNS".

Sehe  Diskussion:Reihe (Mathematik). --

Konzept Vorschlag 24? April 2021

Zu bemerken ist, dass die obigen 'präzisen Definition' impliziert dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\ a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \$ sind.  Aus derselben Definition folgt dass es wenn die Glieder Zahlen sind, keinen inhaltlichen Unterschied gibt zwischen Folge und Reihe.
Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen.  Man kann sie aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe nennen, weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind.

Geschichte. Das Wort "Reihe" in der Mathematik (Analysis) hat eine lange Historie, mit "konvergente Reihe" für das zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder.  Das Wort "Folge" als Fachwort ist jedoch relativ jung (seit etwa 1900-1920), mit - nicht ganz konsequent - "konvergente Folge" für das zusammenlaufen von nur den Glieder.

Das traditionelle Wort "Reihe" wird noch immer häufig gebraucht in Kontexten wo das Zusammenlaufen der Partalsummen einer Folge relevant ist. Also wenn die Absicht ist mittels der Zahlenfolge eine (irrationale) Zahl zu repräsentieren. Beim Gebrauch von "Reihe" in diesen Kontexte wird die Folge der Glieder oft mit Pluszeichen (anstatt Kommas) oder mit dem Sigmazeichen notiert.

Darstellungsweisen für Folgen und Zahlen

Nagekomen bron met "Reihendarstellungen": zie kopie 1904 Wangerin/Encyklopädie der Mathem. Wissensch.

Die viele Widersprüche ins heutigen Reiheartikel sind - mMn - nur zu vermeiden, wenn scharf Unterscheid gemacht wird zwischen:
- einerseits, "Reihe" als Name, genau wie "Zahlenfolge", für eine Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Menge-mit-Addition;
- anderseits, "Reihe" (oder "Reiheform") als Name für eine Darstellungsweise (Darstellungsform, Representation) einer Folge bzw. einer Zahl.

Um deutlich zu machen was ich unter "Darstellungsweise" verstehe (was man darunter versteht?) zeige ich hier einige, für Zahlenfolgen und für Zahlen. Fast alle ausgehend von einer gegeben unendliche Folge (a_n); nur die Determinantform basiert sich auf Matrizen (Abbildungen von $\mathbb {N} ^{2}$).
Sind Quellen erwünscht?
- Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, II. Analysis, 3.Teil,1. Hälfte, Heft 1 (1909, Pringsheim/Faber), S.4:  "Methoden zur Darstellung der Elementarfunktionen durch unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche" .
- K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, (1. Aufl. 1922) 6. Aufl. 1996, S. 100: Ëine Zahlenfolge kann in der mannigfachsten Weisen gegeben sein [..] vor allem drei Arten [..]unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche" .

Summendarstellung einer Reihe/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Teilsummenabbildung.
Siehst aus wie $\ a_{1},\ a_{1}{+}a_{2},\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\ \cdots \quad$oder$\quad (a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad \Sigma \,(a_{n})\quad$oder$\$ . . .   .

Produktendarstellung einer Reihe/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Teilprodukteabbildung.
Siehst aus wie $\ a_{1},\ a_{1}a_{2},\ a_{1}a_{2}a_{3},\ \cdots \quad$oder$\quad \Pi \,(a_{n})\quad$oder   . . .  .

Kettenbrüchedarstellung einer Reihe/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Kettenbrücheabbildung.
Siehst aus wie $\quad a_{1},\quad a_{1}{+}a_{2}^{-1},\quad a_{1}{+}(a_{2}{+}a_{3}^{-1})^{-1},\quad a_{1}{+}(a_{2}{+}(a_{3}{+}a_{4}^{-1})^{-1})^{-1},\ \cdots \quad$oder $\quad {\bf {(}}a_{1}{+}(a_{2}{+}(\cdots {+}a_{n}^{-1})\cdots )^{-1}{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$ oder$\quad {\bf {[}}a_{1};\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}{\bf {]}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder  . . .  .

Cesàromitteldarstellung einer Reihe/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Cesàromittelabbildung.
Siehst aus wie $\ {\bf {(}}\,(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder   . . .  .

Cesàrosummendarstellung einer Reihe/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Cesàrosummenabbildung.
Siehst aus wie $\ {\bf {(}}\,(na_{1}+(n-1)a_{2}+\cdots +2a_{n-1}+a_{n})/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad {\bf {(}}\,(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad {\text{C-}}\Sigma \,(a_{n})\quad$oder   . . .  .

Determinantendarstellung einer Reihe/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsmatrix $(a_{i,j})$ und die Determinantabbildung.
Siehst aus wie $\ (\det(a_{i,j})_{n\times n})_{n=1,2,\cdots }\$.

Summendarstellung einer Zahl, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$,  der Teilsummenabbildung  und der (partiellen) Grenzwertabbildung für Folgen.
Siehst aus wie ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})\quad }$oder$\quad \Sigma ^{\infty }\,(a_{n})\quad$oder   . . .   .

Idem:

Produktendarstellung / Kettenbrüchedarstelling / Cesàrosummendarstellung / Determinantendarstelling einer Zahl.

Kommentar?

Frage: Die Folge der wachsende Kwadratzahlen kann dargestellt als $\,\Sigma _{n=1,2,\cdots }(2n-1)\,$ und als $\,(n^{2})_{n=1,2,\cdots }\,$.  Eine Reiheform und eine ? ? form. Gibt's hier keine Name? --

Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$.  Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$:
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken';  in formule:${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten';  in formule:${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen;  in formule:${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$.

Einzelnachweise (im Reihe-Artikel 22 Apr. 2021)

Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 37 (12. Aufl. 2016, S. 43).   Hier wird "Reihe" auf zweierlei Weise introduziert:

- Aus eine Folge reeller Zahlen entsteht eine Reihe, indem man, grob gesprochen, die Folgenglieder durch ein Pluszeichen verbindet.

- Die Folge $(s_{n})$ der Partialsummen einer Folge $(a_{n})$ reeller Zahlen heißt: Reihe mit den Gliedern $a_{n}$ .

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Birkhäuser, 3. Aufl. 2006, ISBN 9783764377557, S. 195:

Die Folge ${\textstyle \,(s_{n}):=(\sum _{k=0}^{n}x_{k})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ einer Folge $(x_{k})$ heißt Reihe.

Die $x_{k}$ sind die Summanden der Reihe.   Die $s_{n}$ sind die Partialsummen der Reihe, auch: die Glieder der Reihe.

Reaktion auf Googolplexian1221 (Disk 17 Apr. 2021)

I.   Mission.  Vielleicht kommt nahe:  "Trennen von Inhalt mathematischer Begriffe versus ihrer Darstellung."

II. - Das lange Zitat nun in vier Teile.  Wo kannst du hier etwas auf Grund seltsamer Formulierungen nicht verstehen?

a. Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\ a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \$ sind.

b. Aus derselben Definition folgt dass es wenn die Glieder Zahlen sind, keinen inhaltlichen Unterschied gibt zwischen Folge und Reihe.

c. Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen.

d. Man kann sie aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe nennen, weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind.

- "obigen präzisen Definition" ist vielleicht nicht gut passend in einer Enzyklopädie.  Wie sagt man das - mit Beibehaltung von 'Präzise' - enzyklopädisch?  Auf Deutsch.

- Ich möchte sehr gerne Quellen sehen für Satz 3  "Präzise ..."  im Reihe-Artikel. Otto Forster schreibt etwas anderes.

- "Keinen inhaltlichen Unterschied"  läßt offen dass es einen Gebrauchsunterschied gibt (abhängig von Kontext).

III. Okay, mein Fehler. Bitte lese  "auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$"  anstatt  "auf eine Zahlenmenge".

IV. - Für Zahlenfolgen (hier: Glieder in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$) $x$ und $y$ gibt es zwei Verknüpfingen, beiden "Multiplikation" genennt:

$x*y\ :=\ x_{1}y_{1},\ x_{2}y_{2},\ x_{3}y_{3},\ \cdots \$  und  $\ x{*}{*}y\ :=\ x_{1}y_{1},\ \,x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2},\ \cdots \ =\ \Sigma x*\Sigma y\$.

Man kann z.B. die Namen "Folgeprodukt" ("direkt Produkt"?) bzw. "Reiheprodukt" ("Polynomprodukt"?) geben, aber damit wird noch nicht ein Unterschied zwischen Konzept/Begriff Folge und Konzept/Begriff Reihe mathematisch klar.

- "Reihenprincipe".  Ich finde mit Google 0 Treffer. Wer kennt Quellen?

- Die Abbildung Σ ist eine Abbildung von dem Folgenraum in den Folgenraum (es handelt sich hier um Folgen mit addierbaren Glieder). Die Quellmenge (Definitionsbereich) und die Zielmenge sind identisch.

- Das man zwei unterschiedlichen (nicht isomorphe) $\mathbb {R}$-Algebren konstruieren kann, und damit zwei unterschiedlichen Σ-Abbildungen (Zielmenge mit 'direkt Produkt' und Zielmenge mit 'Polynomprodukt'), impliziert nicht dass es zwei unterschiedlichen Begriffe Folge bzw. Reihe gibt.  Ja?

- diese unverträglichkeit.  Welche unverträglichkeit?

- handelt es sich um das Σ-Bild einer Folge.  Das Σ-Bild einer Folge ist wieder einmal eine Folge (hier: eine Abbilding auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$).  Also, warum fängt dieser Satz an mit  "Bei einer Reihe" ?

- Wenn man eine Zahlenfolge mit der traditionellen Name "Reihe" andeutet, bleiben die Eigenschaften der (mit "Reihe" angedeutete) Folge unverändert: Glieder, Partialsummen, Partialsummenfolge, Summe, summierbarkeit, alternierend, monotonie, usw. .  Nur mit  'Konvergenz' (und 'absolut Konvergent') muss man aufpassen.

Traditionell steht 'konvergent' für das zusammenlaufen der Partialsummen (und sagt/schreibt man 'konvergente Reihe'). Rund 1920 haben Konrad Knopp c.s. introduziert das 'konvergent' für das (einfachere, mehr elementare) Zusammenlaufen der Glieder benutzt werden soll. Um Verwirrung zu vermeiden wird die neuere Bezeichnung von 'konvergent' immer mit "Folge" kombiniert; und wird anstatt "konvergente Reihe" oft "summierbare Folge" gesagt.

- Das Tupel $(x,\Sigma x)$ enthalt mehr Information als nur die Folge $x$.  Warum?  Welche extra Information?

- Die Glieder einer summierbaren Folge (auch "konvergenten Reihe" genannt) bilden eine Nullfolge.  Ja, korrekt. Und?

- beide Konzepte. Das "beide" verursacht direkt schon Verwirrung. Es gibt NUR das Konzept "eine Menge von Größen, deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird" (J.F. Lorenz, 1793), moderner formuliert "eine Abbilding auf $\mathbb {N}$”. Traditionell mit Name "Reihe", im letzten Jahrhundert "Folge" oder – speciell wenn die summierbarkeit im Frage ist – oft noch immer "Reihe" (Potenzreihe, Taylor-Reihe, Fourier-Reihe, ...) .  Es gibt zwei Namen – ja. Aber nicht einen zweiten mathematischen Begriff.

- jede reelle Folge besitzt ein Urbild under Σ.  Ja, völlig einverstanden.

- Eine Reihe ist eine 'vervollständigter' Folge.  Was wird hier mit "versehen" (versiehst) gemeint?  Wie tut man das?  Ist die Folge der wachsende Kwadratzahlen weltweit zu einer 'Reihe' promoviert (vervollständigt) wenn ich mit meinem Zauberstab die Kwadratenfolge mit die Folge der ungerade Zahlen 'versehen' habe?  Nochmals, ist das Mathematik?  Wozu dient das 'versehen' mit dem Urbild, wenn jede Folge schon ihrem Urbild 'besitzt' ?

- Die definition  "Abbildung auf $\mathbb {N}$"  enthällt nicht die Abbildung Σ.  Ja.

- Wie kann 'das Konzept der Reihe' verallgemeint werden?  Diese Frage liegt außerhalb dieses WP-Artikels.

V, VI, VII. - Kann jemand meine Fragen ad-5, 6 und 7 im Beitrag 16. Apr. 2021 beantworten?

- Die Anzahl Google-Treffer für "Bauart einer Folge" ist: 0 . Also nicht verwenden in der Enzyklopädie.

VIII. Siehe oben  Wo genau?

IX (Schlussbemerkungen).  ohne viel Resonanz bei den Redaktören.  Was im Kommentar von drei Redakteuren bezieht sich faktisch auf meinen vier Sätze in den Artikelbeitrag 13 Apr. 2021 ?

a. "präzise Definition passt nicht wirklich" (Ich habe um eine bessere Alternative gefragt.)

b. "Die deutsche Grammatik ist falsch" (Ich habe um Spezifizierung gefragt.)

c. "Es fehlen Quellen" (Ich habe um Spezifizierung gefragt.)

d. Etwas vergessen? --