Autoregressief model

Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse dat wordt gebruikt om bepaalde voorspellingen te doen.

Definitie

Het autoregressieve model van de orde $p,$ genoteerd als $\mathrm {AR} (p),$ is gedefinieerd als

$X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}$,

waarin $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}$ de parameters van het model zijn, $c$ een constante is en $\varepsilon _{t}$ witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.

Aannames

1. $\mathrm {E} (\varepsilon _{t})=0$
2. $\mathrm {E} (\varepsilon _{t}^{2})=\sigma ^{2}$
3. $\mathrm {E} (\varepsilon _{t}\varepsilon _{s})=0$ voor alle $t\neq s$

Voorbeeld

Een $\mathrm {AR} (1)$-proces is gegeven door:

$X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,$

waarin $\varepsilon _{t}$ aan de aannames voldoet. Daardoor is de verwachtingswaarde $\mathrm {E} (X_{t})$ dezelfde voor alle waarden van $t,$ indien $|\varphi |<1.$. De verwachtingswaarde $\mu$ is gelijk aan

$\mathrm {E} (X_{t})=\mathrm {E} (c)+\varphi \mathrm {E} (X_{t-1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{t})\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0$

Dus

$\mu ={\frac {c}{1-\varphi }}$

In het bijzonder is, als $c=0$, de verwachtingswaarde gelijk aan 0.

De variantie is

$\mathrm {var} (X_{t})=\mathrm {E} (X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}$,

waarin $\sigma _{\varepsilon }$ de standaardafwijking van $\varepsilon _{t}$ is.

Dit kan men zien doordat $\mathrm {var} (X_{t})=\varphi ^{2}\mathrm {var} (X_{t-1})+\sigma ^{2}.$