De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal
x
{\displaystyle x}
in het interval
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}
waarvoor geldt:
x
=
1
a
1
−
1
a
1
a
2
+
1
a
1
a
2
a
3
−
…
{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\ldots }
met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska , die ze in 1929 formuleerde.[1]
Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.
Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen
(
a
i
)
{\displaystyle (a_{i})}
is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.
Als de expansie wordt afgebroken bij de
n
{\displaystyle n}
-de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de
n
{\displaystyle n}
-de term.
De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal
x
.
{\displaystyle x.}
De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme :[2]
Stel
u
0
=
x
{\displaystyle u_{0}=x}
Bereken voor
k
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle k=1,2,3,\ldots }
:
a
k
=
⌊
1
u
k
−
1
⌋
{\displaystyle a_{k}=\left\lfloor {\frac {1}{u_{k-1}}}\right\rfloor }
u
k
=
1
−
a
k
u
k
−
1
{\displaystyle u_{k}=1-a_{k}u_{k-1}}
Stop zodra
u
k
=
0
{\displaystyle u_{k}=0}
Daarrin is
⌊
a
⌋
{\displaystyle \lfloor a\rfloor }
de entier van
a
{\displaystyle a}
.
De Pierce-expansie van
0
,
37
{\displaystyle 0{,}37}
geeft achtereenvolgens:
u
0
=
0
,
37
{\displaystyle u_{0}=0{,}37}
a
1
=
⌊
1
0
,
37
⌋
=
2
{\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}37}}\right\rfloor =2}
u
1
=
1
−
a
1
u
0
=
1
−
2
⋅
0
,
37
=
0
,
26
{\displaystyle u_{1}=1-a_{1}u_{0}=1-2\cdot 0,37=0{,}26}
a
2
=
⌊
1
0
,
26
⌋
=
3
{\displaystyle a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{0,26}}\right\rfloor =3}
u
2
=
1
−
a
2
u
1
=
1
−
3
⋅
0
,
26
=
0
,
22
{\displaystyle u_{2}=1-a_{2}u_{1}=1-3\cdot {0{,}26}=0{,}22}
a
3
=
⌊
1
0
,
22
⌋
=
4
{\displaystyle a_{3}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}22}}\right\rfloor =4}
u
3
=
1
−
a
3
u
2
=
1
−
4
⋅
0
,
22
=
0
,
12
{\displaystyle u_{3}=1-a_{3}u_{2}=1-4\cdot {0{,}22}=0{,}12}
a
4
=
⌊
1
0
,
12
⌋
=
8
{\displaystyle a_{4}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}12}}\right\rfloor =8}
u
4
=
1
−
a
4
u
3
=
1
−
8
⋅
0
,
12
=
0
,
04
{\displaystyle u_{4}=1-a_{4}u_{3}=1-8\cdot {0{,}12}=0{,}04}
a
5
=
⌊
1
0
,
04
⌋
=
25
{\displaystyle a_{5}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}04}}\right\rfloor =25}
u
5
=
1
−
a
5
u
4
=
1
−
25
⋅
0
,
04
=
0
{\displaystyle u_{5}=1-a_{5}u_{4}=1-25\cdot {0{,}04}=0}
De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:
0
,
37
=
1
2
−
1
2
⋅
3
+
1
2
⋅
3
⋅
4
−
1
2
⋅
3
⋅
4
⋅
8
+
1
2
⋅
3
⋅
4
⋅
8
⋅
25
=
1
2
−
1
6
+
1
24
−
1
192
+
1
4800
{\displaystyle 0{,}37={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{192}}+{\frac {1}{4800}}}
1
π
=
(
3
,
22
,
118
,
383
,
571
,
635
,
70529
,
375687
,
399380
,
575584
,
…
)
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=(3,22,118,383,571,635,70529,375687,399380,575584,\dots )}
- rij A006283 in OEIS
1
2
=
(
1
,
3
,
8
,
33
,
35
,
39201
,
39203
,
60245508192801
,
60245508192803
,
218662352649181293830957829984632156775201
,
…
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=(1,3,8,33,35,39201,39203,60245508192801,60245508192803,218662352649181293830957829984632156775201,\dots )}
- rij A091831 in OEIS
ln
(
2
)
=
(
1
,
3
,
12
,
21
,
51
,
57
,
73
,
85
,
96
,
1388
,
…
)
{\displaystyle \ln(2)=(1,3,12,21,51,57,73,85,96,1388,\dots )}
- rij A091846 in OEIS
1
e
=
(
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
,
11
,
…
)
{\displaystyle {\frac {1}{e}}=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots )}
- rij A020725 in OEIS
De Pierce-expansie van
1
/
e
{\displaystyle 1/e}
is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van
1
−
e
−
1
=
(
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
,
…
)
{\displaystyle 1-e^{-1}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots )}
- de natuurlijke getallen.
Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel .
Lengte van de Pierce-expansie
bewerken
Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal
b
/
a
,
met
(
b
<
a
)
{\displaystyle b/a,{\text{ met }}(b<a)}
is de lengte van de expansie, genoteerd als
P
(
a
,
b
)
{\displaystyle P(a,b)}
.
P
(
a
)
{\displaystyle P(a)}
is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen
b
/
a
{\displaystyle b/a}
met
b
=
1
,
…
,
a
{\displaystyle b=1,\ldots ,a}
:[3]
P
(
a
)
=
max
{
P
(
a
,
b
)
∣
1
≤
b
≤
a
}
{\displaystyle P(a)=\max\{P(a,b)\mid 1\leq b\leq a\}}
Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies , in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor
P
(
a
)
{\displaystyle P(a)}
.
Shallit[2] bewees dat
2
a
{\displaystyle 2{\sqrt {a}}}
een bovengrens is van
P
(
a
)
{\displaystyle P(a)}
.
Paul Erdős en Shallit[4] gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie :
P
(
a
)
=
O
(
a
1
3
+
δ
)
{\displaystyle P(a)=O(a^{{\frac {1}{3}}+\delta })}
waarin
δ
{\displaystyle \delta }
een willekeurig klein positief reëel getal is.
Vlado Kešelj[3] leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:
P
(
a
)
=
O
(
(
a
⋅
log
(
a
)
)
1
3
)
{\displaystyle P(a)=O((a\cdot \log(a))^{\frac {1}{3}})}
Voor de asymptotische ondergrens van
P
(
a
)
{\displaystyle P(a)}
vond hij:
P
(
a
)
=
O
(
log
(
a
)
log
(
log
(
a
)
)
)
{\displaystyle P(a)=O\left({\frac {\log(a)}{\log(\log(a))}}\right)}
Hierin is
log
{\displaystyle \log }
de natuurlijke logaritme . Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote
a
{\displaystyle a}
nog steeds een ruime overschatting is.
Engel-expansie , analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.
Bronnen, noten en/of referenties
↑ Pierce, T. A. "On an Algorithm and Its Use in Approximating Roots of Polynomials." Amer. Math. Monthly 1929, vol. 36, blz. 523-525.
↑ a b J. O. Shallit , "Metric theory of Pierce expansions." Fibonacci Quarterly , februari 1986, vol. 24 nr. 1, blz. 22-40
↑ a b Vlado Keselj , "Length of Finite Pierce Series: Theoretical Analysis and Numerical Computations". Report CS-96-21, University of Waterloo, 10 september 1996
↑ P. Erdös, J.O. Shallit. "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series." Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 1991, vol. 3 nr. 1, blz. 43-53. DOI :10.5802/jtnb.41