Gumbel-verdeling

De gumbel-verdeling, genoemd naar de Duitse wiskundige Emil Julius Gumbel (1891–1966), is een kansverdeling die toepassing vindt als verdeling van een extreme waarde, zoals het maximum in een steekproef.

Gumbel
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	$\mu$ plaatsparameter (reëel) $\beta >0$ schaalparameter (reëel)
Drager	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Kansdichtheid	${\frac {1}{\beta }}z\,e^{-z}$, waarin $z=e^{-{\frac {x-\mu }{\beta }}}$
Verdelingsfunctie	$e^{-z}$ met $z$ als boven
Verwachtingswaarde	$\mu +\beta \,\gamma$
Mediaan	$\mu -\beta \,\ln(\ln(2))$
Modus	$\mu$
Variantie	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}$
Scheefheid	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1{,}14$
Kurtosis	${\frac {12}{5}}$
Entropie	$\ln(\beta )+\gamma +1$
Moment- genererende functie	$\Gamma (1-\beta \,t)\,e^{\mu \,t}$
Karakteristieke functie	$\Gamma (1-i\,\beta \,t)\,e^{i\,\mu \,t}$
Portaal    Wiskunde

Definitie

De standaard gumbel-verdeling is een kansverdeling met verdelingsfunctie:

$F(x)=e^{-e^{-x}},~x\in \mathbb {R}$

en kansdichtheid:

$f(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}},~x\in \mathbb {R}$

Door hernormering ontstaat de gumbel-verdeling met parameters $\mu$ en $\beta$, waarvan de verdelingsfunctie wordt gegeven door:

$F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{(\mu -x)/\beta }},~x\in \mathbb {R}$

Eigenschappen

De verwachtingswaarde is

$\mu +\gamma \beta$,

waarin $\gamma$ de constante van Euler is.

$\gamma \approx 0{,}5772$

De standaardafwijking is

${\tfrac {\pi }{\sqrt {6}}}\beta$

De mediaan is

$\mu -\beta \log(\log(2))$

De modus is $\mu$.

Gumbel-papier met een gumbel-verdeling.

Kansverdelingen