Gamma-verdeling

In de kansrekening en statistiek is de gamma-verdeling een continue kansverdeling, met twee parameters. De exponentiële verdeling, de chi-kwadraatverdeling en de Erlang-verdeling zijn speciale gevallen van de gamma-verdeling.

Gamma
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	$k>0$ $\theta >0$
Drager	$x\in [0;\infty )$
Kansdichtheid	$x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}$
Verdelingsfunctie	${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}$
Verwachtingswaarde	$k\theta$
Modus	$(k-1)\theta \$ als $\ k\geq 1$
Variantie	$k\theta ^{2}$
Scheefheid	${\frac {2}{\sqrt {k\ }}}$
Kurtosis	${\frac {6}{k}}$
Entropie	$k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)$ $+(1-k)\psi (k)$
Moment- genererende functie	$(1-\theta \,t)^{-k}\$ als $\ t<1/\theta$
Karakteristieke functie	$(1-\theta \,i\,t)^{-k}$
Portaal    Wiskunde

Definitie

De kansdichtheid van de gamma-verdeling met vormparameter $k$ en schaalparameter $\theta$, ook genoteerd als $\gamma (k,\theta )$-verdeling, is:

$f(x;k,\theta )={\frac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \mathrm {als} \ x>0$

waarbij $\Gamma (k)$ de gammafunctie is.

Eigenschappen

• Als $X$ een $\gamma (k,\theta )$-verdeling heeft, dan heeft $cX$ een $\gamma (k,c\theta )$-verdeling, voor willekeurige $c>0$.
• Als $X_{1},\ldots ,X_{n}$ onderling onafhankelijk en gelijkverdeeld zijn volgens de exponentiële verdeling met parameter $\lambda$, dan heeft $X_{1}+\ldots +X_{n}$ een $\gamma (n,1/\lambda )$-verdeling.
• De $\gamma (1,\theta )$-verdeling is de exponentiële verdeling met parameter $\lambda =1/\theta$.
• Als $X$ een $\gamma (k,\theta )$-verdeling heeft, dan heeft $2X/\theta$ een chi-kwadraatverdeling met $2k$ vrijheidsgraden. Daaruit blijkt dat de $\gamma (k,2)$-verdeling identiek is aan de chi-kwadraatverdeling met $2k$ vrijheidsgraden.
• De $\gamma (n,1/\lambda )$-verdeling is een Erlang-verdeling met parameters $\lambda >0$ en $n\geq 1$. Hierin is $\lambda$ een reëel en $n$ een geheel getal.

Toepassingen

De gamma-verdeling wordt vaak gebruikt wanneer er verschillende, onderling onafhankelijke, experimenten met een exponentiële verdeling in het spel zijn. Stel dat de wachttijd in minuten op de bus bij een halte een exponentiële verdeling met parameter $\lambda =10$ volgt, dan heeft, onder bepaalde onafhankelijkheidsaannames, de wachttijd op de vijfde bus een $\gamma (5,{\tfrac {1}{10}})$-verdeling.

Kansverdelingen