Zwaartelijn

Een zwaartelijn in een driehoek is het lijnstuk dat een van de hoekpunten verbindt met het midden van de overliggende zijde. Een zwaartelijn verdeelt een driehoek in twee driehoeken met gelijke oppervlakte.

Driehoek met zwaartelijnen

De drie zwaartelijnen verdelen elkaar in de verhouding 1:2.

ZwaartepuntBewerken

 
Het zwaartepunt O in de driehoek ABC

Het zwaartepunt van een driehoek is het punt waar de drie zwaartelijnen van die driehoek elkaar snijden. De cartesische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn de gemiddelden van de coördinaten van de hoekpunten. De barycentrische coördinaten van het zwaartepunt zijn (1:1:1). Het zwaartepunt ligt op de rechte van Euler. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(2).

Als  ,   en   de vectoren zijn naar respectievelijk de hoekpunten A, B en C, dan ligt het zwaartepunt O van de driehoek ABC in  .

Voor de verhouding van de delen van de zwaartelijnen geldt:

 

Iedere zwaartelijn deelt de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke delen. Er zijn geen andere lijnen door het zwaartepunt die ook de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke stukken delen. De drie zwaartelijnen van een driehoek delen de driehoek daarom in zes driehoeken met gelijke oppervlakten. In de figuur zijn dit de driehoeken AOD, BOD, BOE, COE, COF en AOF.

Het zwaartepunt als snijpunt van de zwaartelijnen van een driehoek valt samen met het mechanische zwaartepunt van de driehoek. Een driehoek van bijvoorbeeld karton, balanceert op de punt van een potlood geplaatst in het zwaartepunt.

LengtesBewerken

De driehoek ABC heeft de zijden   tegenover A,   tegenover B en   tegenover C. De lengte   van de zwaartelijn uit A wordt gegeven door:

 

Hieruit laat zich eenvoudig afleiden dat het viervoud van de som van de kwadraten van de zwaartelijnen gelijk is aan het drievoud van de som van de kwadraten van de zijden.

 ,

waarin   en   de lengtes van de zwaartelijnen uit respectievelijk B en C zijn.

Afbeeldingen van het zwaartepunt in een driehoekBewerken