Hoofdmenu openen

Zariskitopologie is een begrip in de wiskunde, op het kruispunt van de topologie en de algebraïsche meetkunde.

Er zijn verschillende definities in omloop. Zij verschillen in de onderliggende puntenverzameling van de topologische ruimte.

De klassieke definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de affiene -dimensionale ruimte of de projectieve -dimensionale ruimte over een algebraïsch gesloten lichaam , of als deelruimtetopologie in een algebraïsche deelverzameling van een van die ruimten.

De moderne definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de verzameling van alle priemidealen van een commutatieve ring met eenheid.

Het verband tussen beide definities volgt eruit dat de punten van in een eeneenduidig verband staan met de maximale idealen, dus niet met alle priemidealen, van de ring van polynomen in veranderlijken met coëfficiënten in .

In dit artikel wordt de moderne definitie gebruikt.

DefinitieBewerken

De Zariskitopologie definieert een topologische structuur op het spectrum   van een commutatieve ring  , dus op de verzameling van alle priemidealen van  . De topologie wordt gedefinieerd aan de hand van haar gesloten verzamelingen, en wel als volgt: een verzameling priemidealen van   heet gesloten als ze de vorm   aanneemt voor één of andere deelverzameling   van  . Het is niet noodzakelijk dat   zelf een priemideaal of zelfs maar een ideaal is.

We verifiëren dat aan de drie axioma's van een topologische ruimte voldaan is:

  1. de keuzes   resp.   leren ons dat   en   gesloten zijn
  2. de doorsnede van een familie gesloten verzamelingen, gegenereerd met een familie deelverzamelingen   van  , is de gesloten verzameling gegenereerd met de deelverzameling  
  3. de vereniging van twee gesloten verzamelingen, gegenereerd met de deelverzamelingen   en   van  , is de gesloten verzameling gegenereerd met de deelverzameling   (alle ringproducten van elementen uit   met elementen uit  )

De derde voorwaarde is de enige waarbij de eigenschappen van priemidealen een rol spelen, met name om te bewijzen dat als   de verzameling   omvat, maar niet alle elementen van   afzonderlijk, dan wel alle elementen van  .

VoorbeeldenBewerken

  1. Het spectrum van de gehele getallen is de verzameling der priemgetallen, uitgebreid met het getal 0. De gesloten verzameling die wordt gegenereerd door een verzameling   van gehele getallen, is de verzameling gemeenschappelijke priemfactoren van de elementen van  . Daaruit volgt dat de gesloten verzamelingen van de Zariskitopologie precies de eindige verzamelingen priemgetallen zijn (plus de verzameling van alle priemgetallen zelf). Het is dus de cofiniete topologie.
  2. Zij   een algebraïsch gesloten lichaam. De veeltermring   der polynomen in één veranderlijke met coëfficiënten in   is een hoofdideaaldomein, dat wil zeggen dat elk ideaal wordt voortgebracht door een singleton. Het spectrum van de   bestaat uit de idealen voortgebracht door een eerstegraadsveelterm. Al deze priemidealen zijn bovendien maximaal. Zij   een collectie veeltermen. Het maximale ideaal voortgebracht door de eerstegraadspolynoom   omvat   als en slechts als alle polynomen van   het getal   als gemeenschappelijk nulpunt hebben. Hieruit volgt dat de enige gesloten verzamelingen (buiten het spectrum zelf) de eindige verzamelingen zijn. We hebben dus opnieuw te maken met de cofiniete topologie.
  3. Zij   opnieuw een algebraïsch gesloten lichaam en beschouw de ring   der polynomen in twee veranderlijken. Deze ring is niet langer een hoofdideaaldomein, maar hij is nog steeds Noethers, dat wil zeggen ieder ideaal wordt voortgebracht door een eindig aantal polynomen. De niet-triviale priemidealen zijn enerzijds de maximale idealen van de vorm   voor willekeurige elementen   een   van  , anderzijds de hoofdidealen   die worden voortgebracht door een irreducibele polynoom  . Als  , is het priemideaal   een echte deelverzameling van het maximale ideaal  . Algebraïsch gesloten lichamen zijn oneindig, dus de gesloten verzameling van alle priemidealen die   omvatten, bevat oneindig veel maximale idealen. Dit is een voorbeeld van een Zariskitopologie die niet samenvalt met de cofiniete topologie.

ScheidingseigenschappenBewerken

Zijn   en   twee verschillende priemidealen van  . Dan is ofwel  , ofwel   (of allebei). Maar dat wil zeggen dat een van de twee niet tot de gesloten verzameling behoort die met de andere gegenereerd wordt. De Zariskitopologie voldoet dus altijd aan het topologische scheidingsaxioma  .

Zij   een priemideaal van  . Door   te kiezen zien we dat het singleton   een gesloten verzameling is als en slechts als   een maximaal ideaal is. De Zariskitopologie op het spectrum van een ring voldoet dus alleen aan het scheidingsaxioma   als alle priemidealen maximaal zijn (zoals in onze twee voorbeelden van de ringen   en  ).

Op een oneindige topologische ruimte is de cofiniete topologie nooit een Hausdorff-ruimte ( -ruimte). De Zariskitopologie van de gehele getallen voldoet dus niet aan het scheidingsaxioma  . De Zariskitopologie van   is Hausdorff als en slechts als   een eindig lichaam is.

NoethersBewerken

Als   een Noetherse ring is, dan vormt   met de Zariskitopologie een Noetherse topologische ruimte, dat wil zeggen dat de gesloten verzamelingen aan de dalende ketenvoorwaarde voldoen (ten opzichte van de partiële orde "is een deelverzameling van").

BronBewerken