Hoofdmenu openen

Coördinatenstelsel

(Doorverwezen vanaf Z-as)

Door een coördinatenstelsel wordt een vlak of een ruimte zo ingedeeld, dat de plaats van ieder punt op dat vlak of in die ruimte uniek wordt bepaald door een stel getallen, coördinaten van dat punt genaamd.

Rechtlijnige coordinatenBewerken

Het platte vlakBewerken

 
Cartesisch coördinatenstelsel van het tweedimensionale vlak. Dit vlak wordt verdeeld in vier kwadranten. Het deel van het vlak, waar de  - en de  -coördinaat beide groter zijn dan 0, heet het 1e kwadrant. De vier delen van het vlak, de vier kwadranten, worden tegen de klok in genummerd.

In een lineaire ruimte wordt een coördinatenstelsel bepaald door de keuze van een basis.

Het bekendste coördinatenstelsel is het cartesisch coördinatenstelsel uit de vlakke meetkunde. Dit coördinatenstelsel is genoemd naar Descartes. Het cartesisch coördinatenstelsel is de gebruikelijke manier om een punt in een vlak aan te duiden door middel van twee coördinaten ten opzichte van twee coördinaat-assen, die loodrecht op elkaar staan. De horizontale as heet de  -as, de verticale as heet de  -as, het punt waar de  -as en de  -as elkaar snijden heet de oorsprong  . De beide assen en de oorsprong vormen samen het assenkruis. Na definiëring van de positieve x- en y-richting wordt een punt   nu bepaald door de gerichte afstanden tot de beide assen. De afstand   tot de  -as, de  -coördinaat, heet abscis, en de afstand   tot de  -as, de  -coördinaat, ordinaat. Deze terminologie werd al gebruikt in de 17de eeuw in de analytische meetkunde, ontwikkeld door Descartes en Fermat. De beide getallen, abscis en ordinaat, zijn de coördinaten van het punt   in het beschouwde coördinatenstelsel. Omdat in een plat vlak twee coördinaten nodig zijn om een punt vast te leggen, zeggen we dat een vlak tweedimensionaal is.

In feite is de dimensie van een ruimte het aantal coördinaten dat nodig is om de plaats van alle punten in die ruimte precies te kunnen bepalen.

Drietallen van ruimtelijke coordinatenBewerken

 
Cartesisch coördinatenstelsel in de driedimensionale ruimte.

Een punt   in de driedimensionale euclidische ruimte wordt door drie reële coördinaten vastgelegd. Naast de  -as en de  -as is er ook een  -as:

 

Het meest gebruikelijk is een rechtsdraaiend coördinatenstelsel, als in de afbeelding. Toepassing van de rechterhandregel betekent dan dat bij draaiing om de

  • +x-as de draaihoek positief gerekend wordt als de +y-as naar de +z-as gedraaid wordt
  • +y-as de draaihoek positief gerekend wordt als de +z-as naar de +x-as gedraaid wordt
  • +z-as de draaihoek positief gerekend wordt als de +x-as naar de +y-as gedraaid wordt

Het spiegelbeeld is een linksdraaiend coördinatenstelsel.

Geografische coördinatenBewerken

Zie Geografische coördinaten voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een punt op het oppervlak van een bol heeft twee vrijheidsgraden, en het lijkt dan ook aannemelijk dat een punt op het aardoppervlak kan worden geïdentificeerd aan de hand van twee coördinaatgetallen. Aangezien de aarde echter niet de meetkundige structuur van het platte vlak heeft, kan het cartesische stelsel hier niet ongewijzigd op worden toegepast.

In plaats daarvan worden een vaste grootcirkel gekozen, de evenaar, en een vast nulpunt punt op die cirkel. De grootcirkel die loodrecht op de evenaar door het nulpunt gaat, heet nulmeridiaan. De evenaar heeft een fysische betekenis, maar het nulpunt is bepaald door historische conventies.

De positie van een willekeurig punt wordt bepaald door enerzijds de georiënteerde hoek tussen de verbindingslijn van het centrum van de aarde naar het gegeven punt en het vlak van de evenaar (breedtegraad); en anderzijds door door de georiënteerde hoek tussen diezelfde verbindingslijn en het vlak van de nulmeridiaan, gemeten aan de kant dichtst bij het nulpunt (lengtegraad).

De breedtegraad varieert tussen -90° en +90°; meestal wordt een positief getal gebruikt met de bijkomende vermelding noorderbreedte of zuiderbreedte. De lengtegraad varieert tussen -180° en +180°, en ook hij wordt meestal positief uitgedrukt met de bijkomende vermelding oosterlengte of westerlengte. Hieruit volgt dat geografische coördinaten op twee belangrijke punten verschillen van cartesische coördinaten:

  1. niet ieder stel getallen is een geldig stel coördinaten; er is bijvoorbeed geen enkele plaats op aarde met breedtegraad 100°;
  2. verschillende coördinaten kunnen hetzelfde punt aanduiden, met name bijvoorbeeld de Noordpool heeft breedte +90° en willekeurige lengtegraad.

Anderzijds houdt de cartografie zich bezig met het afbeelden van (een deel van) het aardoppervlak op een vlakke meetkundige structuur. Bij het maken van een kaart moet worden bepaald hoe de geografische coördinaten op de kaart worden geprojecteerd, omdat er rekening mee moet worden gehouden, dat de aarde rond is. Vaak wordt een kaart voorzien van dunne lijnen die punten met dezelfde lengtegraad of punten met dezelfde breedtegraad verbinden. Dit laat toe de geografische coördinaten van een punt op de kaart te schatten. Deze lengtelijnen en breedtelijnen zijn over het algemeen geen rechte lijnen op de kaart.

Het woord geografisch wordt specifiek gebruik voor de aarde; bij andere hemellichamen met een vast oppervlak worden gelijkaardige coördinatenstelsels gehanteerd en men spreekt dan bijvoorbeeld van selenografische coördinaten (op de Maan) of areografische coördinaten (op Mars). Op de Maan wordt een plaats bepaald met selenografische coördinaten, op Mars met areografische coördinaten.

Heel gelijkaardig gebruiken sterrenkundigen diverse astronomische coördinatenstelsels om de schijnbare positie van een hemellichaam op de hemelbol weer te geven. Als evenaar kunnen worden gebruikt: de horizon van de waarnemer, of de ecliptica, de schijnbare baan van de Zon tussen de sterren; maar het vaakst gebruikt men de projectie van de aardse evenaar op de hemelkoepel: de hemelevenaar.

PoolcoördinatenBewerken

Zie Poolcoördinaten voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Cartesische coördinaten zijn niet de enige mogelijkheid om een punt van het platte vlak te kenschetsen door twee getallen. Afhankelijk van de toepassing kan het nuttig zijn als de afstand tot een gegeven "centraal" punt een van de coördinaten is. Bij poolcoördinaten wordt een vast punt als oorsprong gekozen, en een halve rechte met de oorsprong als eindpunt. De eerste coördinaat van een willekeurig punt, voerstraal genaamd, is zijn afstand tot de oorsprong en wordt meestal aangeduid met het symbool   De voerstraal kan ieder niet-negatief reëel getal zijn. De tweede coördinaat heet argument en is de georiënteerde hoek tussen de gekozen halve rechte en de verbindingslijn van de oorsprong met het gegeven punt. Het argument ligt dus tussen 0° en 360°, al worden ook andere conventies gehanteerd zoals het interval [-180°,+180°] of wordt de hoek uitgedrukt in radialen.

Net als bij geografische coördinaten is ook hier niet ieder tweetal reële getallen een geldig paar coördinaten (het eerste getal moet minstens 0 zijn), en twee verschillende paren kunnen hetzelfde punt aanduiden (de hoek 360° heeft hier dezelfde betekenis als de hoek 0°).

Bolcoördinaten en cilindercoördinatenBewerken

Zie Bolcoördinaten en Cilindercoördinaten voor de hoofdartikels over deze onderwerpen.

Poolcoördinaten in het platte vlak kunnen worden veralgemeend tot coördinaten in de driedimensionale Euclidische ruimte door aan de twee hoeken één afstandsmaat toe te voegen. Bij bolcoördinaten is dit de lengte van de voerstraal (de afstand van het gegeven punt tot de oorsprong); bij cilindercoördinaten is het de Z-coördinaat, d.w.z. de hoogte van het punt boven het XY-vlak waarin het argument wordt gemeten.

Andere coördinatenstelselsBewerken

Naar analogie met cartesische coördinatenstelsels spreekt men in de wiskunde ook van andere coördinatenstelsels, waarin een punt niet vastgelegd wordt ten opzichte van rechthoekige assen, maar op andere wijze. Voorbeelden zijn scheve coördinatenstelsels, barycentrische coördinaten, trilineaire coördinaten en tripolaire coördinaten.

 
Scheef coördinatenstelsel in het tweedimensionale vlak.

TransformatiesBewerken

Zie Coördinatentransformatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als in eenzelfde ruimte, of een deel daarvan, twee verschillende coördinatenstelsels naast elkaar bestaan, dan rijst het probleem van de omzetting van een stel coördinaten in het ene stelsel, naar een stel coördinaten van hetzelfde punt ten opzichte van het andere stelsel.

Als voorbeeld geven we de omzetting van poolcoördinaten   van een punt in het vlak naar cartesische coördinaten   waarbij de positieve  -as samenvalt met de nulrechte van het argument in poolcoördinaten, en de  -as met het argument 90°:

 
 

Bewegend coördinatenstelselBewerken

De kinematica is de tak van de fysica die het gedrag van bewegende punten en lichamen beschrijft. De beweging van een punt ten opzichte van een coördinatenstelsel is een functie van één reële parameter (de tijd) en neemt als waarden telkens een stel coördinaten in. In toepassingen wordt vaak een bewegend coördinatenstelsel gebruikt waarvan de beweging zo gekozen is, dat ze de beschrijving van de beweging van de punten en lichamen vereenvoudigt.

De klassieke mechanica berust op het relativiteitsprincipe van Galileï: er bestaan oneindig veel bewegende cartesische coördinatenstelsels, inertiaalstelsels geheten, waarbinnen de wetten van de natuur zich gelijkaardig manifesteren. De oorsprong van één zo'n stelsel beweegt eenparig rechtlijnig ten opzichte van eender welk ander inertiaalstelsel, en de assen veranderen niet van oriëntatie.

VariëteitenBewerken

Zie Variëteit (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het wiskundige begrip variëteit is nauw verbonden met coördinaten en coördinatentransformaties. Verschillende takken van de wiskunde onderscheiden verschillende soorten variëteiten, maar de meeste definities hebben gemeen dat een variëteit bestaat uit een topologische ruimte   en een atlas op   dat is een verzameling coördinatenstelsels voor open deelverzamelingen van   die samen heel   overdekken, en waarvoor op de overlappende gebieden coördinatentransformaties bestaan die de juiste eigenschappen hebben (bijvoorbeeld homeomorfismen).

Zie ookBewerken