Hoofdmenu openen

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een veralgemening van het gewone rekenkundig gemiddelde. Het wortelgemiddelde met macht p van een rijtje getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht p, bepaal het gemiddelde van deze p-de machten en trek uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Het veralgemeend gemiddelde kan naast het rekenkundig gemiddelde (p = 1) ook het meetkundig gemiddelde (p = 0), het kwadratisch gemiddelde (p = 2) en het harmonisch gemiddelde (p = -1) beschrijven.

Inhoud

DefinitieBewerken

Voor het reële getal   is het  -de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen   gedefinieerd door:

 .

Ook voor de limietgevallen  ,   en   is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

  (het meetkundig gemiddelde)
  (het minimum van de getallen)
  (het maximum van de getallen)

VoorbeeldenBewerken

  • p=1 geeft het rekenkundig gemiddelde:  .
  • p=2 geeft het kwadratisch gemiddelde:  
  • p=-1 geeft het harmonisch gemiddelde  

EigenschappenBewerken

  • Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor   geldt:
 .
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:
 
  • Algemeen geldt voor  :
 .
  • Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
 .
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.
 .

VeralgemeningBewerken

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.

Bewijzen voor de limietgevallenBewerken

 Bewerken

Het wortelgemiddelde   is de limiet van   voor  . Immers:

 

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

 .

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:

 

 Bewerken

Het wortelgemiddelde   is de limiet van   voor  . Immers:

Laat  , dan is:

 .

 Bewerken

Het wortelgemiddelde   is de limiet van   voor  .

Dit is een direct gevolg van de betrekking: