Volledig (maattheorie)

wiskunde

In de maattheorie, een tak van de wiskunde, noemt men een maatruimte volledig als alle deelverzamelingen van nulverzamelingen meetbaar zijn.

Expliciete definitieBewerken

Zijn   een meetbare ruimte. Een maat   op   heet volledig als

 

In dergelijke gevallen is   vanzelf ook een nulverzameling.

Volledigheid hangt zowel van de sigma-algebra   als van de maat   af.

VoorbeeldBewerken

Elementaire voorbeelden van volledige maten zijn eenvoudig genoeg te construeren, bijvoorbeeld eender welke maat op de discrete stam   (neem   eindig voor een gemakkelijke constructie van  ).

Een interessant voorbeeld van een onvolledige maat is de Borelmaat op de Borelstam van de reële getallen. Het bewijs hiervan is niet triviaal, maar kan bijvoorbeeld als volgt verlopen:

  1. De Cantorverzameling is een overaftelbare nulverzameling voor de Borelmaat
  2. De Borelstam heeft de kardinaliteit van de reële getallen
  3. Uit de continuümhypothese volgt dat de Cantorverzameling strikt meer deelverzamelingen heeft dan de Borelstam leden, er bestaan dus deelverzamelingen van de Cantorverzameling die niet Borelmeetbaar zijn.

VervolledigingBewerken

De volgende constructie associeert met elke (niet noodzakelijk volledige) maatruimte   een uitbreiding die gegarandeerd volledig is.

Definieer   als de sigma-algebra voortgebracht door   en alle deelverzamelingen van nulverzamelingen.

Definieer   op   als volgt:

 

Dan blijkt   een maat te zijn, en de twee maten vallen duidelijk samen op  . In het bijzonder is de vervollediging van een kansmaat opnieuw een kansmaat.

De Lebesguestam en de Lebesgue-maat zijn de vervollediging van de Borelmaat op de reële getallen, of bij uitbreiding op  .