Verbinding (wiskunde)

wiskunde

In differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een verbinding een hulpmiddel om bij de verplaatsing van bepaalde objecten, zoals een vector, langs een kromme of familie van krommen de richtingsveranderingen op een consistente (parallelle) manier te kwantificeren en de richtingen in verschillende punten met elkaar te verbinden.

Parallel transport

AchtergrondBewerken

Een belangrijk studieobject in de differentiaalmeetkunde is de kromming van krommen, in het bijzonder van geodeten. In een euclidische ruimte wordt die kromming eenvoudig gegeven door de tweede afgeleide, maar op een differentieerbare variëteit kan die tweede afgeleide niet direct bepaald worden. Als de kromme gegeven wordt door de functie  , moet voor de tweede afgeleide het differentiequotiënt van de vectoren   en   gevormd worden. Deze vectoren bevinden zich echter in verschillende vectorruimten. Om dat probleem op te lossen definieert men een afbeelding die een verbinding vormt tussen de deelnemende ruimten. Die afbeelding wordt daarom verbinding genoemd.

Er bestaat in de moderne meetkunde een verscheidenheid aan soorten verbindingen., afhankelijk van wat voor objecten men wil verplaatsen, Een affiene verbinding, het meest elementaire type verbinding, is bijvoorbeeld een middel voor het verschuiven van raakvectoren op een variëtiet van het ene naar het andere punt langs een kromme. Een affiene verbinding wordt meestal in de vorm van een covariante afgeleide gegeven. Een covariante afgeleide is een middel voor het bepalen van richtingsafgeleiden van vectorvelden: een infinitesimale translatie van een vectorveld in een bepaalde richting.