Lichaam (Ned) / Veld (Be)

(Doorverwezen vanaf Veld (wiskunde))
algebraïsche
structuren

magma
halfgroep
monoïde
groep
ring / ideaal
lichaam/veld

moduul
vectorruimte
algebra

categorie
tralie
boolealgebra

Een lichaam (Nederlands-Nederlandse term) of veld (Belgisch-Nederlandse term)[bron?], niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze uitgevoerd kunnen worden. In het Engelse taalgebied spreekt men van 'field', en in het Duitse taalgebied van 'Körper'. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam (Nederlands-Nederlands) of eindig veld (Belgisch-Nederlands).

DefinitieBewerken

Een lichaam of veld is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling) en bovendien optelling en de vermenigvuldiging beide associatief en commutatief zijn. Bovendien is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal   bestaande uit een niet-lege verzameling   waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen   en   uit   noteert men meestal met   en de vermenigvuldiging van   en   met   of kortweg  . De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met   of   en het product dienovereenkomstig met respectievelijk   of  .

De optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen aan de volgende voorwaarden.

  1. Voor alle elementen   en   in  , behoren ook   en   tot  .
      is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging.
    Of ook: zowel de optelling als de vermenigvuldiging zijn intern over  .
  2. Voor alle elementen   en   in  , is
      en  .
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
  3. Er bestaat in   een element   zodat voor alle   uit   geldt:
     
    Het element   heet het neutrale element voor de optelling.
  4. Voor elk element   in   bestaat er een element   in  , zodat
      en  
    Ieder element in   heeft een invers element voor de optelling.
  5. Voor alle elementen   en   in   is
      en  
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn commutatief.
  6. Voor alle elementen   en   in   is
     
    De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
  7. Er bestaat in   een element   zodat voor elk element   in   geldt:
     
    Het element   is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van   genoemd.
  8. Voor elk element   in   verschillend van   bestaat er een element   in   zodat
     
    Elk element in   ongelijk aan   heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
  9.   is niet gelijk aan  .

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die slechts één element bevat, namelijk het element  , een lichaam/veld zijn, en dat is ongewenst.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat   ook een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel dat de vermenigvuldiging commutatief is (voorwaarde 9), dan is er sprake van een delingsring of scheeflichaam (Nederlands-Nederlandse term) of lichaam (Belgisch-Nederlandse term).

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en respectievelijk 7, 8 en 9, analoge voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil (aftrekken) wordt gedefinieerd door  . De deling (door een element ongelijk aan nul) wordt gedefinieerd door  .

Alternatieve formuleringBewerken

Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld   ook gedefinieerd worden door:

  •   is een commutatieve groep
  •   is een commutatieve groep
  • de bewerking   is distributief over de bewerking  .

VoorbeeldenBewerken

De reële getallen ( ) met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormen een lichaam/veld; idem voor de rationale getallen ( ) en de complexe getallen ( ).

De gehele getallen ( ) vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen geen invers element hebben voor de vermenigvuldiging.

Als   een lichaam/veld is, vormen de rationale functies (veeltermbreuken) in   veranderlijken over   op hun beurt een lichaam/veld.

De restklassen modulo   vormen een eindig lichaam/veld als   een priemgetal is.

DeellichaamBewerken

Een deellichaam van een lichaam is een deelverzameling die de elementen 0 en 1 bevat, en gesloten is met betrekking tot optelling, tegengestelde, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam.

Voorbeelden:

  • De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
  • De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
  • Het lichaam  , met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van   dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element   en daarmee ook   heeft. Voor het speciale element   geldt  . Er wordt modulo 2 gerekend, dus   (zie Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)).

Geordend lichaamBewerken

Een geordend lichaam is een lichaam met een compatibele totale orde, wat wil zeggen dat voor de bijbehorende strikte totale orde < geldt:[1]

  • als   dan  
  • als   en   dan  

EigenschappenBewerken

  • Een eindig lichaam kan niet een geordend lichaam zijn.
  • Een deellichaam van een geordend lichaam is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam.

VoorbeeldenBewerken

  • De reële getallen
  • Enkele achtereenvolgende deellichamen van de reële getallen:
    • De algebraïsche getallen
    • De doorsnede van alle deellichamen van de reële getallen die   bevatten (dit zijn de functiewaarden van de rationale functies als het argument   is, of nog anders gezegd, de waarden   met   en   rationale getallen)
    • De rationale getallen

Gerelateerde onderwerpenBewerken