Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Een lichaam (Nederlands-Nederlandse term) of veld (Belgisch-Nederlandse term), niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze uitgevoerd kunnen worden. In het Engelse taalgebied spreekt men van 'field', en in het Duitse taalgebied van 'Körper'. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam/veld.

Definitie

Een lichaam/veld is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling) en bovendien optelling en de vermenigvuldiging beide associatief en commutatief zijn. Bovendien is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal $(K,+,*)$ bestaande uit een niet-lege verzameling $K$ waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen $a$ en $b$ uit $K$ noteert men meestal met $a+b$ en de vermenigvuldiging van $a$ en $b$ met $a*b$ of kortweg $ab$. De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met $\,\cdot \,$ of $\times$ en het product dienovereenkomstig met respectievelijk $a\cdot b$ of $a\times b$.

De optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen aan de volgende voorwaarden.

1. Voor alle elementen $a$ en $b$ in $K$, behoren ook $a+b$ en $a*b$ tot $K$.
   $K$ is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging.
   Of ook: zowel de optelling als de vermenigvuldiging zijn intern over $K$.
2. Voor alle elementen $a,\,b$ en $c$ in $K$, is
   $\quad (a+b)+c=a+(b+c)$ en $(a*b)*c=a*(b*c)$.
   De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
3. Er bestaat in $K$ een element $0$ zodat voor alle $a$ uit $K$ geldt:
   $\quad a+0=0+a=a$
   Het element $0$ heet het neutrale element voor de optelling.
4. Voor elk element $a$ in $K$ bestaat er een element $-a$ in $K$, zodat
   $\quad a+(-a)=0$ en $-a+a=0$
   Ieder element in $K$ heeft een invers element voor de optelling.
5. Voor alle elementen $a$ en $b$ in $K$ is
   $\quad a+b=b+a$ en $a*b=b*a$
   De optelling en de vermenigvuldiging zijn commutatief.
6. Voor alle elementen $a,\,b$ en $c$ in $K$ is
   $\quad a*(b+c)=a*b+a*c$
   De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
7. Er bestaat in $K$ een element $1$ zodat voor elk element $a$ in $K$ geldt:
   $\quad 1*a=a*1=a$
   Het element $1$ is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van $K$ genoemd.
8. Voor elk element $a$ in $K$ verschillend van $0$ bestaat er een element $a^{-1}$ in $K$ zodat
   $\quad a*a^{-1}=1=a^{-1}*a$
   Elk element in $K$ ongelijk aan $0$ heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
9. $0$ is niet gelijk aan $1$.

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die slechts één element bevat, namelijk het element $0$, een lichaam/veld zijn, en dat is ongewenst.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat $(K,+,*)$ ook een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel dat de vermenigvuldiging commutatief is (voorwaarde 9), dan is er sprake van een delingsring of scheeflichaam (Nederlands-Nederlandse term) of lichaam (Belgisch-Nederlandse term).

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en respectievelijk 7, 8 en 9, analoge voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil (aftrekken) wordt gedefinieerd door

$a-b=a+(-b)$

De deling (door een element ongelijk aan nul) wordt gedefinieerd door

${\frac {a}{b}}=a*b^{-1}$

Alternatieve formulering

Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld $(K,+,*)$ ook gedefinieerd worden door:

• $(K,+)$ is een commutatieve groep
• $(K\setminus \{0\},*)$ is een commutatieve groep
• de bewerking $*$ is distributief over de bewerking $+$.

Voorbeelden

De reële getallen, $\mathbb {R}$, met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormen een lichaam/veld; idem voor de rationale getallen, $\mathbb {Q}$, en de complexe getallen, $\mathbb {C}$.

De gehele getallen, $\mathbb {Z}$, vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen geen invers element hebben voor de vermenigvuldiging.

Als $K$ een lichaam/veld is, vormen de rationale functies (veeltermbreuken) in $n$ veranderlijken over $K$ op hun beurt een lichaam/veld.

De restklassen modulo $p$ vormen een eindig lichaam/veld als $p$ een priemgetal is.

Deellichaam/deelveld

Een deellichaam/deelveld van een lichaam/veld is een deelverzameling die de elementen 0 en 1 bevat, en gesloten is met betrekking tot optelling, tegengestelde, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam/veld.

Voorbeelden:

• De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
• De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
• Het eindige lichaam/veld $\mathbb {F} _{2}$, met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van $\mathbb {F} _{4}$, dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element $x$ en daarmee ook $x+1$ bevat. Voor het speciale element $x$ geldt $x^{2}=x+1$. Er wordt modulo 2 gerekend, dus $1+1=0,\,x+x=0$.

Geordend lichaam/veld

Een geordend lichaam/veld is een lichaam/veld met een compatibele totale orde, wat wil zeggen dat voor de bijbehorende strikte totale orde '<' geldt:

• als $a<b$, dan is $a+c<b+c$
• als $0<a$ en $0<b$, dan is $0<a*b$

Eigenschappen

• Een eindig lichaam/veld kan niet een geordend lichaam/veld zijn.
• Een deellichaam/deelveld van een geordend lichaam/veld is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam/veld.

Voorbeelden

• De reële getallen
• De volgende deellichamen/deelvelden van de reële getallen:
  • De algebraïsche getallen.
  • De doorsnede van alle deellichamen/deelvelden van de reële getallen die ${\sqrt {2}}$ bevatten, dus alle getallen van de vorm $a+b{\sqrt {2}}$ met $a$ en $b$ rationale getallen.
  • De rationale getallen.

Zie ook

• Groepentheorie
• Algebraïsch gesloten lichaam
• Galoistheorie
• Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)

Bronnen, noten en/of referenties