Hoofdmenu openen

Het kruisproduct, vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product of uitproduct (niet te verwarren met het Engelse 'outer product', dat een tensorproduct is) van twee vectoren in drie dimensies is een vector die loodrecht staat op beide vectoren, en waarvan de grootte gelijk is aan het product van de groottes van de beide vectoren en de sinus van de hoek tussen de twee vectoren. De richting van het kruisproduct wordt vastgelegd door de kurkentrekker- of de rechterhandregel. In tegenstelling tot het inwendig product, is het kruisproduct geen scalair, maar een vector.

Inhoud

DefinitieBewerken

 
Grafische voorstelling van het kruisproduct van vectoren   en  . De vector   staat loodrecht op   en   en wijst de beweging aan van een kurkentrekker die van   naar   gedraaid wordt.

Het kruisproduct   van de vectoren   en   in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels[bron?]:

  1.   staat loodrecht op   en   (richting van  )
  2.  ,   en   vormen een rechtshandig assenstelsel;
  3.   (grootte van  ), waarin θ de hoek tussen   en   is.

De regels 1 en 2 houden in dat de richting van het kruisproduct bepaald wordt door de vector   naar de vector   te draaien alsof men een kurkentrekker hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het kruisproduct bepaalt. Men noemt dit de kurkentrekkerregel. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel of pistoolgreep.

Regel 3 legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren   en   als zijden.


De formule voor het kruisproduct van   en   uitgedrukt in de coördinaten van   en   luidt:

 .

Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de onderstaande determinant, waarin  ,   en   de eenheidsvectoren langs respectievelijk de x-, y- en z-as voorstellen.

 

Opmerking: In de bovenstaande formule gebruiken we de determinant slechts als geheugensteun en om de berekening te vergemakkelijken. De determinant is niet een echte determinant, dat wil zeggen de determinant van een echte matrix. In principe mogen er enkel scalairen (getallen) in voorkomen, geen vectoren.

EigenschappenBewerken

MeetkundigBewerken

  • De grootte   van de vector  , is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden   en  .
  • Als   en   evenwijdig (parallel) zijn, is het kruisproduct  . Omgekeerd volgt uit  , dat   en   evenwijdig zijn (het is wel mogelijk dat   of   de nulvector voorstellen).
  • Zijn   en   een paar niet evenwijdige richtingsvectoren van een vlak  , dan is   een veelvoud van  .

AlgebraïschBewerken

  •  ,
  •  ,
  • De identiteit van Jacobi:
 
  • Formule van Lagrange: De volgende eigenschap wordt vaak gebruikt:
 
De identiteit van Jacobi kan er ook mee geverifieerd worden.
  • Ook van Lagrange is de betrekking:
 
die weinig meer inhoudt dan dat de som van de kwadraten van sinus en cosinus gelijk is aan één.

De tweede eigenschap volgt uit de toepassing van de eerste eigenschap op  . De eerste eigenschap volgt ook onmiddellijk uit de tweede op voorwaarde dat 1 + 1 ≠ 0, dat wil zeggen dat de karakteristiek van de ring   verschillend is van 2.

De eerste en de derde eigenschap samen betekenen dat, voor een willekeurig lichaam (in België: veld)   met willekeurige karakteristiek, de ruimte   met het kruisproduct een Lie-algebra vormt.

GebruikBewerken

Het kruisproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren een vector te bepalen die loodrecht op de twee eerste staat (zie onder andere normaalvector).

In de mechanica wordt een kruisproduct gebruikt om een moment ten opzichte van een punt uit te rekenen:  , met   het moment,   de kracht, en   de plaatsvector. Het zijn alle drie vectoren, maar uit andere vectorruimten.

Niet-tensorieel karakterBewerken

Het kruisproduct in   blijft bewaard onder een isometrische lineaire transformatie, op het teken na: oriëntatiebewarende isometrieën (rotaties) bewaren het kruisproduct, oriëntatie-omkerende isometrieën (rotatie-inversies, bijvoorbeeld spiegelingen) veranderen het kruisproduct van twee vectoren in zijn tegengestelde.

In de tensoralgebra drukt men bovenstaande eigenaardigheid uit door te zeggen dat het kruisproduct van twee vectoren een pseudovector is.

Externe linksBewerken