Tripolaire coördinaten

Tripolaire coördinaten zijn coördinaten voor het platte vlak ten opzichte van een gegeven driehoek. De tripolaire coördinaten van een punt $P$ worden gevormd door het drietal $(AP,BP,CP)$, maar tripolaire coördinaten worden maar weinig gebruikt.

Relatie met lengtes zijden

Leonhard Euler heeft de volgende relatie aangetoond tussen tripolaire coördinaten $(f,g,h)$ van een punt en de lengtes van de zijden $a,b$ en $c$:

$(-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}+c^{2})^{2}h^{2}-(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}+c^{2})-4f^{2}g^{2}h^{2}=0$

Cirkels en lijnen

De vergelijking $lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0$, is een lijn als $l+m+n=0$ en anders een cirkel.

• Als de vergelijking een cirkel is, dan heeft het middelpunt van de cirkel barycentrische coördinaten $(l:m:n)$.
• Als de vergelijking een lijn is, dan staat deze lijn loodrecht op de lijn $[\ l:m:n\ ]$ in barycentrische coördinaten.

Gegeven verhouding

Het aantal punten dat tripolaire coördinaten $(f,g,h)$ heeft, die aan een gegeven verhouding $f:g:h=x:y:z$ voldoen, is er afhankelijk van of de getallen $ax,by$ en $cz$:

• de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er twee dergelijke punten,
• de zijden vormen van een ontaarde driehoek, dan is er een zo'n punt,
• niet de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er geen punten die aan de voorwaarde voldoen.

Voetnoten