Transversaliteit

Transversaliteit is een begrip uit de differentiaaltopologie, de tak van de wiskunde die gladde vervormingen van gekromde ruimten bestudeert. Intuïtief beschrijft het de "meest algemene" onderlinge ligging van twee deelruimten.

Twee onderling transversale krommen op een sfeer
Twee onderling niet-transversale krommen op een sfeer

DefinitieBewerken

Zij   een gladde variëteit, en   en   twee deelvariëteiten van  . We zeggen dat de variëteit   de variëteit   transversaal snijdt in een gegeven punt   van   als aan een van de volgende twee voorwaarden voldaan is:

  •   behoort niet tot  , of
  •   behoort tot de doorsnede van   met  , en de raakruimten van   en   in het punt   brengen samen de raakruimte van   in het punt   voort.

Als   de deelvariëteit   transversaal snijdt in alle punten van  , dan geldt omgekeerd dat   ook   transversaal snijdt in alle punten van  , en we zeggen kortweg dat   en   elkaar transversaal snijden.

Merk op dat twee disjuncte deelvariëteiten van   elkaar per definitie "transversaal snijden".

VoorbeeldenBewerken

Zij   het euclidische vlak, en   en   twee gladde krommen. Ze zijn transversaal in alle punten behalve hun eventuele raakpunten. Krommen die elkaar niet raken (wel eventueel snijden), zijn transversaal.

Zij   de euclidische ruimte, en   en   twee gladde krommen. De raakruimten van   en   zijn overal eendimensionaal, en kunnen dus nooit samen de driedimensionale raakruimte van   voortbrengen.   en   kunnen dus alleen maar transversaal zijn als ze disjunct zijn.

Dit kan gegeneraliseerd worden tot

 ;

dan zijn   en   slechts transversaal als ze disjunct zijn.

Zij   de euclidische ruimte,   een gladde kromme en   een glad oppervlak. Dan zijn   en   transversaal als en slechts als in elk van hun snijpunten, de raaklijn aan   het raakvlak aan   snijdt.

Als   of   dezelfde dimensie heeft als  , dan zijn   en   steeds transversaal.

Doorsnede van twee deelvariëteitenBewerken

De belangrijkste motivatie van deze definitie ligt in de volgende eigenschap:

De doorsnede van twee transversale deelvariëteiten is opnieuw een deelvariëteit, en in dat geval is
 

Met   bedoelen we de codimensie, dit is het verschil  .

In het algemeen geval is de doorsnede van twee deelvariëteiten een erg ingewikkelde verzameling, en zeker niet altijd een variëteit.

Transversaliteit van afbeeldingenBewerken

Een indompeling is een gladde afbeelding waarvan de rakende afbeelding overal injectief is.

Twee gladde indompelingen   en   heten transversaal als in ieder snijpunt van   met   de twee bereiken van de rakende afbeeldingen de raakruimte aan   voortbrengen. D.w.z. dat voor alle  

 

Deze definitie is een veralgemening van de oorspronkelijke, door iedere deelvariëteit van   te identificeren met zijn eigen inclusie-afbeelding

 

Algemene liggingBewerken

Transversaliteit moet beschouwd worden als het algemene geval, en niet-transversaliteit als de uitzondering. De volgende stelling maakt dit precies:

Zij   een compacte gladde variëteit, dan is de topologie van   afkomstig van een metriek. Het heeft dan zin om te spreken over uniforme convergentie van een rij continue afbeeldingen van   naar zichzelf. Als   en   niet-transversale deelvariëteiten zijn van  , dan bestaan er diffeomorfismen van   met zichzelf, die uniform convergeren naar de identieke transformatie van  , en die   afbeelden op een deelvariëteit van   die transversaal is met  .

Informeler gezegd, een niet-transversale stand kan door een willekeurig kleine vervorming in een transversale stand worden gebracht. Dit is intuïtief duidelijk voor het geval van rakende krommen in de tweedimensionale sfeer: door een willekeurig kleine vervorming van een van de krommen gaan de twee krommen ofwel uit elkaar liggen (disjunct, dus transversaal), ofwel snijden (eveneens transversaal).

Het begrip "willekeurig klein" kan hier bijvoorbeeld geïnterpreteerd worden als volgt: de topologie van   is metriseerbaar, en de diffeomorfismen convergeren uniform naar de identieke transformatie.