Tetrahedrale en octahedrale symmetrie

(Doorverwezen vanaf Tetrahedrale symmetrie)

Tetrahedrale en octahedrale symmetrie en de bijbehorende pyritohedrale symmetrie omvatten vijf vormen van polyhedrale symmetrie, en wel de symmetrie van onder meer de tetraëder en de kubus. Het eerste woord van elke symmetrie wordt ook wel eens zonder h geschreven, met dan de uitgang edrale of edrische, al of niet met trema.

Pyritoëder, met als vrijheidsgraad de lengte van de groene ribben; dit veelvlak heeft pyritohedrale symmetrie Th, behalve als de ribben even lang zijn, dan is het een regelmatig twaalfvlak, dat meer symmetrie heeft. Als de groene ribben twee maal zo lang zijn als de andere ontstaat een kubus, zie hieronder
Object met pyritohedrale symmetrie Th: kubus met extra ribben

De figuren geven een vooraanzicht van de bol die de symmetrie weergeeft (in orthografische projectie, ze tonen dus precies een halfrond), met rotatie-assen, fundamenteel domein en verbindende grote cirkels die aangeven waar de eventuele spiegelvlakken de bol snijden. Alle rotatieassen die niet op de rand staan aangegeven, en de aangegeven grote cirkels, zijn ook van toepassing op dezelfde plaats aan de achterkant. Merk op dat een ellips geen grote cirkel voorstelt, maar twee halve grote cirkels aan de voorkant van de bol.

De symmetrieën hebben gemeen dat ze alle vijf vier assen van rotatiesymmetrie van orde 3 hebben. Ze hebben het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met de betreffende symmetrie snijden (het aantal assen is steeds de helft):

  • 8 van orde 3. De assen gaan bij de kubus door de hoekpunten.
  • 0 of 6 van orde 4. De assen gaan bij de kubus door de middens van de zijvlakken.
  • 6 of 12 van orde 2. De assen gaan bij de kubus door de middens van de ribben.

Th heeft verder nog drie in blauw aangegeven spiegelvlakken, Td zes die in rood zijn aangegeven, en Oh heeft ze allemaal.

De groepen , , , en zijn de symmetriegroepen van de kubus met:

  • voor blanco zijden
  • voor op elk zijvlak dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde 4
  • voor op elk zijvlak een diagonaal zo dat die samen een tetraëder vormen
  • voor op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken; ook de symmetriegroep van een pyritoëder
  • voor zowel het bij als genoemde

is de symmetrie van het viervlak en een archimedisch lichaam, de afgeknotte tetraëder. is algebraïsch de symmetrische groep , want de elementen van komen 1-op-1 overeen met de permutaties van de 4 hoekpunten.

is algebraïsch de alternerende groep , want de elementen van komen 1-op-1 overeen met de even permutaties van de 4 hoekpunten.

en dus algebraïsch . De groep is niet alleen de chirale versie van maar ook van .

is de symmetrie van de kubus, de octaëder en vijf archimedische lichamen. Twee archimedische lichamen, namelijk de beide versies van de stompe kubus, zijn chiraal met als totale symmetriegroep. is algebraïsch de symmetrische groep , waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus, .[1] en dus algebraïsch . Naast zijn ook en (en dus ) subgroepen van . De groep is een subgroep van O.

Zie ookBewerken