Stelling van Wilson

De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat dan en slechts dan een priemgetal is, als:

.

De congruentie kan ook worden geformuleerd als: is een deler van .

De stelling werd voor het eerst geformuleerd door Ibn al-Haytham, ook bekend als Alhazen, maar is naar John Wilson genoemd. Wilson was een student van Edward Waring. Die formuleerde de stelling in 1770, maar noch hijzelf noch Wilson konden de stelling bewijzen. Lagrange gaf het eerste bewijs in 1771. Leibniz kende de stelling een eeuw eerder ook, maar publiceerde die niet.

Voor de notaties ! faculteit en ≡ congruent zie aldaar.

BewijsBewerken

Uit het ongerijmde: stel dat   door   is te delen en dat   weer door een getal   met   is te delen. Omdat   een van de getallen   is, is   door   te delen.   is ook door   te delen, dus zou ook 1 door   te delen zijn. Dit is in tegenspraak met de veronderstelling.

OmgekeerdBewerken

Eerste bewijs

Dit bewijs gebruikt dat voor een priemgetal   de verzameling   een groep is onder vermenigvuldiging modulo  . Dit betekent dat er voor ieder element   een uniek invers element   is zodanig dat  . Als  , dan is   en omdat   een priemgetal is, moet   of  .

Met andere woorden: 1 en   zijn hun eigen inverse, maar ieder ander element van   heeft een inverse verschillend van zichzelf. Als dus paarsgewijs alle elementen van   met hun inverse bij elkaar genomen worden en allemaal met elkaar vermenigvuldigd, is het product   modulo   gelijk aan −1.

Voor   is bijvoorbeeld

 

In het geval dat   is de stelling eenvoudig te controleren.

Tweede bewijs

Stel p is een priemgetal groter dan 2. Beschouw de polynomen

 

en

 .

De constante term in   is  .

  is een polynoom, waarvan de graad ten hoogste   is, met dus ten hoogste   nulpunten; Modulo   geldt hetzelfde. Volgens de kleine stelling van Fermat is ieder van de getallen   een nulpunt van  . Dit is onmogelijk, tenzij  , oftewel tenzij iedere coëfficiënt van   door   is te delen, en de constante   dus ook.

Samengestelde getallenBewerken

Voor samengestelde getallen n > 4 geldt:

 ,

d.w.z.   is deelbaar door n.

Voor n = 4 is:

 

Algemene vorm van de stellingBewerken

Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal p en voor ieder positief geheel getal k kleiner dan p:

 

hetgeen met volledige inductie is te bewijzen.

Van Gauss is de volgende vorm van de stelling bekend:

 

waarin p een oneven priemgetal is.

VoorbeeldBewerken

De volgende tabel toont de waarden van n van 2 tot 30, (n −1)! en (n −1)! mod n. Als n een priemgetal is, dan is de achtergrondkleur roze. En als n een samengesteld getal is, dan is de achtergrondkleur lichtgroen.

Tabel van rest modulo n
     
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0