Zadelknoop-bifurcatie: verschil tussen versies

6.165 bytes verwijderd ,  13 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
(Pagina aangemaakt: "{{wiu2}} De '''zadel-knoop bifurcatie''' beschrijft hoe in een systeem een stabiele oplossing ontstaat. In werkelijkheid ontstaan altijd twee constante oplossingen (e...")
 
{{wiu2}}
 
De '''zadel-knoop [[bifurcatie]]''' beschrijft hoe in een systeem een stabiele oplossing ontstaat. In werkelijkheid ontstaan altijd twee constante oplossingen (evenwichtspunten) waarvan er één stabiel is.
 
 
Eén stabiel en één onstabiel.
 
==zie ook==
===Pitchfork bifurcatie===
 
[[Afbeelding:Bifpitch.PNG|thumb|200px|(supercritische) Pitchfork bifurcatie. Horizontaal: de parameterwaarde. Vertikaal: De variabele. Geel en lichtblauw: Stabiel (getrokken) en onstabiel (gestreept) evenwichtspunt. Paarse pijlen: richting waarin het systeem zich ontwikkeld.]]
 
Normaalvorm: <math> \frac{dx}{dt}=x(r-px^2). </math>
 
Voor p=1 is dit bifurcatie supercritisch.
Voor <math>r<0</math> heeft het systeem dan één stabiel evenwichtspunt bij <math>x=0</math>.
Voor <math>r>0</math> zijn er twee stabiele evenwichtspunten bij <math>x=\pm \sqrt{r}</math> en één onstabiel punt voor <math>x=0</math>.
De bifurcatie vindt plaats bij <math>r=0</math>.
 
Voor p=-1 is de bifurcatie subcritisch.
De stabiliteit is dan omgekeerd:
Voor <math>r<0</math> is het evenwichtspunt dan onstabiel
terwijl voor <math>r>0</math> twee van de drie evenwichtspunten onstabiel zijn.
 
Bij de pitchfork bifurcatie ontstaan dus twee nieuwe evenwichtspunten op de plek waar er al één was. Het bestaande evenwichtspunt wordt (bij de supercritische bifurcatie) onstabiel. Het netto effect is dat het systeem overgaat van één naar twee stabiele evenwichtspunten.
 
Een '''voorbeeld''' van een (supercritische) pitchfork bifurcatie is een schakelaar.
Trekt men die, b.v. met een veer in één stand dan is er maar één evenwichtstoestand.
Maar als de veer ontspannen is zijn er twee stabiele toestanden (de twee toestanden van de schakelaar) en één onstabiele (als de schakelaar precies in het midden staat).
In het algemeen kan men zich een pitchfork bifurcatie voorstellen als een hobbel die ontstaat in een dal (van een energielandschap). De evenwichtstoestand (de bodem van het dal) wordt dan onstabiel, maar er ontstaan twee nieuwe stabiele evenwichtstoestanden (dalen) aan beide zijden van de hobbel.
 
[[Afbeelding:Biftrans.PNG|thumb|200px|Transkritische bifurcatie. Horizontaal: de parameterwaarde. Vertikaal: De variabele. Geel en lichtblauw: Stabiel (getrokken) en onstabiel (gestreept) evenwichtspunt. Paarse pijlen: richting waarin het systeem zich ontwikkeld.]]
 
===Transkritische bifurcatie===
 
Normaalvorm: <math> \frac{dx}{dt}=rx-x^2. \, </math>
 
Voor <math>r<0</math> en <math>r>0</math> heeft het systeem twee evenwichtspunten.
Eén bij <math>x=0</math> en één bij <math>x=r</math>.
Voor <math>r<0</math>
is het punt bij <math>x=0</math> stabiel
en het punt bij <math>x=r</math> onstabiel.
Voor <math>r>0</math> draait het om.
Dan is het punt bij <math>x=0</math> onstabiel
en het punt bij <math>x=r</math> stabiel.
Ook deze bifurcatie vindt plaats bij <math>r=0</math>.
 
===Hopf bifurcatie===
 
Normaalvorm:
:<math> \frac{dx}{dt}= y + p(\lambda-(x^2+y^2))x</math>
:<math> \frac{dy}{dt}= -x + p(\lambda-(x^2+y^2))y</math>
 
[[Afbeelding:Hopf.png‎|thumb|250px|Ontstaan van een limietcykel (blauw) in een Hopf bifurcatie. Geel en groen: twee oplossingen vanuit steeds hetzelfde beginpunt]]
 
Voor p=1 is dit bifurcatie supercritisch.
Voor <math>\lambda<0</math> heeft het systeem dan
één stabiel evenwichtspunt bij <math>x=0</math>.
Vanuit elke begintoestand zal het systeem naar dit evenwicht convergeren.
Voor <math>\lambda>0</math> wordt dit evenwichtspunt onstabiel.
Tegelijkertijd ontstaat er een stabiele periodieke oplossing
op een cirkel met straal <math>\sqrt{\lambda}</math>.
Nu zal het systeem vanuit elke begintoestand naar deze oplossing convergeren.
Het systeem oscilleert.
Deze bifurcatie vindt weer plaats bij <math>\lambda=0</math>.
 
Net als bij de pitchfork bifurcatie
heeft de Hopf bifurcatie ook een subcritische vorm voor p= -1.
De stabiliteit is dan weer omgekeerd.
Er onstaat dus wel een periodieke oplossing, maar die is niet stabiel.
 
Bij de Hopf (supercritische) bifurcatie verandert dus
een evenwichtspunt in een periodieke oplossing.
Dit betekent dat het systeem gaat [[osillatie|oscilleren]].
De periodieke oplossing noemt men een [[limietcykel]].
Voor de bifurcatie [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] het systeem vanuit elke begintoestand naar het evenwichtspunt.
Na de bifurcatie convergeert (zowel van binnen- als buiten de cirkel) naar de limietcykel.
Alleen vanuit het centrum zelf loopt geen oplossing naar de cykel.
Maar de kleinste verstoring is voldoende om het systeem te laten oscilleren.
 
Een '''voorbeeld''' van een (supercritische) Hopf bifurcatie is de hierboven beschreven opwindbare [[slingerklok]].
Maar alle (vrijwel) alle oscillaties kunnen ontstaan door een Hopf bifurcatie.
Andere voorbeelden zijn: een kloppend hart of een draaikolk in een rivier.
Bijzonder is onder andere dat in de buurt van de bifrucatie de amplitude van de oscillatie zeer klein wordt.
 
===Periodeverdubbeling===
 
[[Afbeelding:Periodeverdubbeling.png|thumb|250px|Illustratie van een periodeverdubbeling in drie dimensies. Geel: de onstabiele limietcykel. Groen: de oplossing die na twee omwentelingen weer in zijn beginpunt uitkomt.]]
 
Een periodeverdubbeling ontstaat wanneer een [[limietcykel]] onstabiel wordt.
Deze bifurcatie kan alleen optreden wanneer een systeem minstens drie variabelen heeft.
De periodeverdubbeling is niet te bestuderen door het gedrag rond één punt te benaderen,
maar de bifurcatie is goed te begrijpen door een vlak te bekijken dat de limietcykel snijdt.
Zolang de limietcykel stabiel is zal iedere oplossing in de omgeving naar deze cykel toe [[convergeren]].
De oplossing snijdt dus het vlak in punten die steeds dichter bij de cykel liggen.
Wanneer de limietcykel onstabiel is zullen de punten steeds verder van de cykel vandaan liggen.
Rond het moment dat de cykel onstabiel wordt (de bifurcatie) liggen de punten ongeveer evenver van de cykel.
Het is dan altijd mogelijk een oplossing te kiezen die na nog een omwenteling weer in zijn beginpunt uitkomt.
 
Het netto effect van de periodeverdubbeling is dat een stabiele oscillatie wordt omgezet in oscilatie met de dubbele periode.
Bij ieder periodeverdubbeling wordt de oscillatie dus complexer.
[[chaostheorie|Chaos]] wordt veroorzaakt door een opeenstapeling van deze bifurcaties.
 
Omdat de periodeverdubbeling niet te beschrijven is door het systeem zelf rond een punt te bestuderen, maar wel door de snijpunten met een vlak rond één punt te bestuderen wordt deze bifurcatie door sommigen als globaal geclassificeerd en door anderen als lokaal.
 
[[zadel-knoop bifurcatie]]
[[pitchfork bifurcatie]]
[[transkritische bifurcatie]]
[[hopf bifurcatie]]
[[periodeverdubbeling]]
 
{{xnocat||2007|09|12}}
277

bewerkingen