Booglengte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
hogere dimensies, parametrisering door booglengte |
booglengte in een gekromde ruimte |
||
Regel 25:
Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.
==Veralgemeningen==
===Hogere dimensies===
Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene ''n''-dimensionale Euclidische ruimte:
Regel 34 ⟶ 35:
:<math>L=\int_0^{t_0}\|f'(t)\|dt</math>
===Andere normen===
Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere [[norm (wiskunde)|normen]] <math>\|.\|</math>, en in plaats van <math>\mathbb{R}^n</math> kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte ''X'' nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een reële of complexe [[Banachruimte]]) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van [[differentieerbaarheid]] gehanteerd wordt.
===Booglengte in gekromde ruimten===
Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde ''n''-dimensionale [[variëteit (wiskunde)|gladde variëteit]]. De afgeleide ''f'''(''t'') is dan een vector in de [[raakruimte]], en zijn lengte wordt bepaald door de [[metrische tensor]] ''g'':
:<math>\|f'(t)\|=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}{\partial f^i\over\partial x_j}</math>
==Parametrisering door booglengte==
| |||