Booglengte: verschil tussen versies

453 bytes toegevoegd ,  15 jaar geleden
booglengte in een gekromde ruimte
(hogere dimensies, parametrisering door booglengte)
(booglengte in een gekromde ruimte)
Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.
 
==Veralgemeningen==
===Hogere dimensies===
Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene ''n''-dimensionale Euclidische ruimte:
 
:<math>L=\int_0^{t_0}\|f'(t)\|dt</math>
 
===Andere normen===
Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere [[norm (wiskunde)|normen]] <math>\|.\|</math>, en in plaats van <math>\mathbb{R}^n</math> kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte ''X'' nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een re&euml;le of complexe [[Banachruimte]]) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van [[differentieerbaarheid]] gehanteerd wordt.
 
===Booglengte in gekromde ruimten===
Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde ''n''-dimensionale [[vari&euml;teit (wiskunde)|gladde vari&euml;teit]]. De afgeleide ''f'''(''t'') is dan een vector in de [[raakruimte]], en zijn lengte wordt bepaald door de [[metrische tensor]] ''g'':
 
:<math>\|f'(t)\|=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}{\partial f^i\over\partial x_j}</math>
 
==Parametrisering door booglengte==
3.705

bewerkingen