Booglengte: verschil tussen versies

1.890 bytes toegevoegd ,  15 jaar geleden
hogere dimensies, parametrisering door booglengte
kGeen bewerkingssamenvatting
(hogere dimensies, parametrisering door booglengte)
Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.
 
==Hogere dimensies==
Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene ''n''-dimensionale Euclidische ruimte:
 
:<math>f:[0,t_0]\to\mathbb{R}^n:t\mapsto f(t)</math>
'''Zie ook''':
 
De lengte van de kromme is opnieuw de integraal van de snelheidsvector:
 
:<math>L=\int_0^{t_0}\|f'(t)\|dt</math>
 
Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere [[norm (wiskunde)|normen]] <math>\|.\|</math>, en in plaats van <math>\mathbb{R}^n</math> kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte ''X'' nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een re&euml;le of complexe [[Banachruimte]]) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van [[differentieerbaarheid]] gehanteerd wordt.
 
==Parametrisering door booglengte==
Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie ''f'' van een re&euml;le parameter ''t'', dan noemen we deze parametrisering ''regulier'' als de afgeleide van ''f'' nergens nul wordt op het beschouwde interval.
 
Bij een reguliere kromme is de functie
 
:<math>s:[0,t_0]\to\mathbb{R}:t\mapsto\int_0^{t}\|f'(r)\|dr</math>
 
differentieerbaar, strikt stijgend en haar afgeleide <math>s'(r)=\|f'(r)\|</math> is overal strikt positief. Haar inverse functie
 
:<math>s^{-1}:[0,s(t_0)]\to\mathbb{R}</math>
 
is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme ''f'' kunnen ''herparametriseren'' in termen van de booglengte ''s''. De nieuwe kromme
 
:<math>g:[0,s(t_0)]\to X:r\mapsto f(s^{-1}(r))</math>
 
heeft dezelfde beeldverzameling in ''X'' als de oorspronkelijke kromme ''f'', maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar ''snelheidsvector'' overal lengte &eacute;&eacute;n heeft:
 
:<math>\|g'(r)\|=\|f'(s^{-1}(r)).(ds^{-1}/dr)\|=\left\|{f'(s^{-1}(r))\over(ds/dt)(s^{-1}(r))}\right\|={\|f'(s^{-1}(r))\|\over\|f'(s^{-1}(r))\|}=1</math>
 
'''==Zie ook''':==
[[Boog (meetkunde)]] voor de berekening van de booglengte van een [[cirkel]].
 
3.705

bewerkingen