Homotopie-equivalentie: verschil tussen versies

988 bytes toegevoegd ,  14 jaar geleden
homotopie van paden; samentrekbaarheid
k (cat+interwiki)
(homotopie van paden; samentrekbaarheid)
 
Zij <math>X=\{a,b\}</math> met de [[discrete topologie]], d.w.z. alle deelverzamelingen van <math>X</math> zijn open. De identieke transformatie van <math>X</math> is ''niet'' homotoop met de constante afbeelding op <math>a</math>. Veronderstel namelijk dat er een homotopie <math>F:[0,1]\times X\to X</math> zou bestaan. Dan is de beperking van <math>F</math> tot <math>[0,1]\times\{b\}\simeq [0,1]</math> een continue afbeelding van een [[Samenhang|samenhangende]] ruimte naar een discrete ruimte, dus constant. Maar deze beperking neemt de waarde <math>b</math> aan in het begin van het interval, en <math>a</math> op het einde van het interval: een contradictie.
 
==Homotopie van paden==
Een interessant bijzonder geval is dat waarbij ''X'' zelf het gesloten interval [0,1] is, zoals in het eerste voorbeeld hierboven. Een continue afbeelding van [0,1] naar ''Y'' noemt men een ''pad'' in ''Y''.
 
De [[fundamentaalgroep]] van ''Y'' bestaat uit equivalentieklassen van de relatie "is homotoop met" in alle ''gesloten paden'' met een gegeven begin- en eindpunt ''p'' van ''Y''.
 
==Homotopie van topologische ruimten==
 
Het omgekeerde is niet waar: er bestaan paren van homotopie-equivalente ruimten die niet homeomorf zijn. De [[lensruimten van Tietze]] <math>L(7,1)</math> en <math>L(7,2)</math> vormen hiervan een niet-triviaal voorbeeld.
 
Een topologische ruimte heet [[samentrekbaarheid|samentrekbaar]] als het homotoop is met een singleton, of anders gezegd, als de identieke transformatie homotoop-equivalent is met een constante afbeelding op één punt van de ruimte.
 
De gesloten en [[open bol]]len van <math>\mathbb{R}^n</math> zijn allemaal samentrekbaar: door een schaalfactor <math>t\in[0,1]</math> is de identieke transformatie homotoop-equivalent met de constante afbeelding op het middelpunt van de bol.
 
De [[sfeer]] in <math>\mathbb{R}^n</math> (de rand van de eenheidsbol) is nooit samentrekbaar.
 
[[Categorie:Topologie]]
3.702

bewerkingen