Topologische groep: verschil tussen versies

128 bytes toegevoegd ,  14 jaar geleden
k
linkfix
(Voorbeeld morfismen)
k (linkfix)
In de [[wiskunde]] zijn de '''topologische groepen''' tegelijkertijd [[groepGroep (wiskunde)|groepen]] en [[topologische ruimte|topologische ruimten]] zodanig dat de groepsstructuur en de topologische structuur compatibel zijn. Concreet betekent dit voor een groep ''(G,*)'' dat de vermenigvuldiging en de inversie [[Continue functie|continu]] zijn.
 
== Voorbeelden ==
* De '''reele rechte''' voorzien van de [[optelling]] is een groep, en zelfs een [[abelse groep]]. Hierbij is de inversie gewoon de tekenwisseling, of nog, de vermenigvuldiging met min een. Deze twee bewerkingen zijn continu voor de [[standaardtopologie]] op de reele rechte. In het bijzonder hebben we een abelse topologische groep. Op een geheel analoge manier vormen de [[complexe getallen]] een abelse topologische groep voor de optelling.
 
* Beschouw ''(R<sub>0</sub>,*)'', de reele rechte, doorprikt in de oorsprong en voorzien van de [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]]. Dan is dit een groep. De bewerkingen (de vermenigvuldiging en de multiplicatieve inversie) zijn continu voor de standaardtopologie. In het bijzonder hebben we te maken met een topologische groep. Op een geheel analoge manier kunnen we ''(C<sub>0</sub>,*)'', het complexe vlak zonder de oorsprong voorzien van de vermenigvuldiging en de standaardtopologie, bekijken als een topologische groep.
 
 
== Constructies ==
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''H'' een deelgroep is van ''G''. Indien ''H'' voorzien wordt van de [[deelruimtetopologie]] ''T|<sub>H</sub>'', dan is ''(H,T|<sub>H</sub>,*)'' een topologische groep.
 
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''N'' een [[Normaaldeler|normale deelgroep]] van ''G'' is. Indien de [[Factorgroep|quotientgroep]] ''G/N'' van ''G'' door ''N'' voorzien wordt van de [[quotienttopologiequotiënttopologie]] ''T<sub>G/N</sub>'', dan is dit een topologische groep. Om te garanderen dat de quotientgroep redelijke topologische eigenschappen heeft, wordt er vaak aangenomen dat de normale deelgroep ook [[Gesloten verzameling|gesloten]] is.
 
== Morfismen ==
In een topologische groep zijn de topologische en de algebraische structuren compatibel. Het is dus te verwachten dat ze elkaar gaan beinvloeden, en dit is ook zo. Beschouw bijvoorbeeld de volgende elementaire eigenschappen van topologische groepen:
 
* De [[samenhang|samenhangende component]] die het [[neutraal element|neutrale element]] bevat, is een normale deelgroep die zelfs [[gesloten]] is.
 
* Topologische groepen zien er in elk punt hetzelfde uit: elke [[Translatie (meetkunde)|translatie]] geeft een homeomorfisme van de groep. (Indien de groep niet abels is, hoeven de linker en de rechter translaties niet overeen te komen.) Ook de inversie geeft een homeomorfisme van de groep met zichzelf.
 
* Voor topologische groepen is de [[fundamentaalgroep]] altijd [[abelse groep|abels]].
 
* [[Topologie]] en [[topologische ruimte]].
* [[Groep (wiskunde)|groep]] en [[groepentheorie]].
* [[Compact|Compacte]] groepen en [[lokaal compact|lokaal compacte]] groepen, topologische groepen met enkele interessante topologische eigenschappen.
* [[LiegroepLie-groep|Liegroepen]], groepen die niet alleen een topologie, maar zelfs een differentiaalstructuur toelaten.
* [[Morfisme|Morfismen]], [[isomorfisme|isomorfismen]] en [[homeomorfisme]]n.
 
[[categorie:Topologie]]
[[categorie:groepentheorieGroepentheorie]]
 
[[de:Topologische Gruppe]]
3.647

bewerkingen