Topologische groep: verschil tussen versies

539 bytes toegevoegd ,  14 jaar geleden
Voorbeeld morfismen
k (Links)
(Voorbeeld morfismen)
 
* Een '''isomorfisme''' van een topologische groep ''(G,T<sub>G</sub>,*)'' met een topologische groep ''(H,T<sub>H</sub>,.)'' is een morfisme van topologische groepen zodanig dat er een invers morfisme van topologische groepen bestaat. Concreet betekent dit: een [[isomorfisme]] van groepen dat tegelijkertijd een [[homeomorfisme]] van topologische ruimten is.
 
Beschouw nogmaals de twee voorbeelden van hierboven: ''(R,+)'' en ''(R<sub>0</sub>,*)'', met de evidente topologieen. De [[exponentieel|exponentiele afbeelding]] van de eerste topologische groep naar de tweede, is een continu morfisme van groepen. De [[logaritme|logaritmische afbeelding]] van de tweede naar de eerste, is ook een continu morfisme van groepen. Bovendien zijn deze exponentiele en logaritmische afbeeldingen elkaars inverse. In het bijzonder hebben we te maken met isomorfismen van topologische groepen.
 
== Eigenschappen ==
In een topologische groep zijn de topologische en de algebraische structuren compatibel. Het is dus te verwachten dat ze elkaar gaan beinvloeden, en dit is ook zo. Beschouw bijvoorbeeld de volgende elementaire eigenschappen van topologische groepen:
 
* De [[samenhang|samenhangende component]] die het [[neutraal element|neutrale element]] bevat, is een normale deelgroep die zelfs [[gesloten]] is.
 
* Topologische groepen zien er in elk punt hetzelfde uit: elke [[translatie]] geeft een homeomorfisme van de groep. (Indien de groep niet abels is, hoeven de linker en de rechter translaties niet overeen te komen.) Ook de inversie geeft een homeomorfisme van de groep met zichzelf.