Kansdichtheid: verschil tussen versies

233 bytes toegevoegd ,  16 jaar geleden
vervolg
(herziening)
(vervolg)
[[Discrete stochastische variabele]]n, die hoogstens aftelbaar veel waarden kunnen aannemen, komen in praktische situaties veelvuldig voor. Soms is het gemakkelijker stochastische variabelen toe te laten die overaftelbaar veel waarden kunnen aannemen, bijvoorbeeld alle waarden in een interval. Het is de vraag of zulke variabelen in de praktijk kunnen voorkomen, maar als model en benadering van de werkelijkheid zijn zij zeer praktisch. Een manier om de verdeling van zulke contimue stochastische variabelen vast te leggen is door middel van een functie die de verdeling van de totale kans weergeeft, dus een niet-negatieve functie met totale [[integraal]] 1, kansdichtheid genaamd.
 
==Voorbeeld==
Een voorbeeld is een variable ''X'' met uniforme verdeling tussen 0 en 1. De variable kan alle waarden tussen x= 0 en x=1 bereiken en iedere uitkomst is even waarschijnlijk. Dat wil zeggen dat f(x) tussen 0 en 1 constant is en daarbuiten nul.
 
Een willekeurig getal tussen 0 en 1 wordt voorgesteld als een stochastische ''X'' die alle waarden tussen 0 en 1 aannemen kan zonder dat bepaalde waarden voorkeur hebben. We kunnen niet zeggen dat alle waarden even waarschijnlijk zijn, want dat is in een continue verdeling altijd het geval, die kans is namelijk 0. Geen voorkeur wil zeggen dat de kansdichtheid tussen 0 en 1 een constante waarde heeft en omdat er geen waarden buiten het interval (0,1) worden aangenomen is de kansdichtheid daar 0. Zo'n verdeling heet een [[uniforme verdeling]] op het interval (0,1) en heeft kansdichtheid:
::: 0<x<1 f(x)= c
:<math>f_X(x)= 1</math> voor <math>x \in (0,1)</math> en 0 elders.
::: elders f(x) = 0
 
Verder moet gelden dat <math>\int_{0}^{1} f(x){\rm d}x = 1</math>
 
Hieruit volgt dat c=1. De kansdichtheid is daarom:
 
::: 0<x<1 f(x)= 1
::: elders f(x) = 0
 
Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen moeten we altijd een integraal genomen worden. Bijvoorbeeld de kans dat X een uitkomst kleiner dan 0.5 is:
3.498

bewerkingen