Kansdichtheid: verschil tussen versies

2.499 bytes toegevoegd ,  16 jaar geleden
herschikkimg
k (redirect)
(herschikkimg)
Een [[contininue stochastische variabele]] ''X'' neemt geen enkele waarde aan met positieve kans. Hier geldt dus:
#REDIRECT [[kansverdeling]].
 
:<math>Pr(X=x)=0</math> voor alle x.
 
Omdat de [[verdelingsfunctie]] <math>F_X</math> in zo'n geval differentieerbaar is, kunnen we deze vastleggen door z'n [[afgeleide]] <math>f_X</math>, die de '''kansdichtheid''' van ''X'' genoemd wordt.
 
:<math>f_{X}(x) = \frac{\rm d}{{\rm d}x} F_{X}(x)</math>.
 
De '''kansdichtheid''' geeft in zo'n geval een goed beeld hoe de totale kans van 1 verdeeld is over het waardenbereik van de stochastische variabele
 
 
 
 
===Kansdichtheid===
 
In de toepassing van de kansrekening is het echter vaak zo dat het aantal mogelijke uitkomsten oneindig groot is. In dat geval is de kans op een individuele uitkomst altijd oneindig klein, dat wil zeggen nul. Meestal vormen de uitkomsten een continuum, bijvoorbeeld alle getallen tussen x= 0 en x=1. Men spreekt dan over continue verdelingen.
 
Om toch te kunnen voldoen aan de eis dat alle uitkomsten samen een kans p=1 moeten opleveren kunnen we niet langer volstaan met eenvoudig de individuele kansen op te tellen maar moeten we een [[integraal|integratie]] uit voeren.
 
De functie f(x) waarover geintegreerd wordt heet de '''kansdichtheid'''. Een voorbeeld is een variable X met uniforme verdeling tussen 0 en 1. De variable kan alle waarden tussen x= 0 en x=1 bereiken en iedere uitkomst is even waarschijnlijk. Dat wil zeggen dat f(x) tussen 0 en 1 constant is en daarbuiten nul.
 
::: 0<x<1 f(x)= c
::: elders f(x) = 0
 
Verder moet gelden dat <math>\int_{0}^{1} f(x){\rm d}x = 1</math>
 
Hieruit volgt dat c=1. De kansdichtheid is daarom:
 
::: 0<x<1 f(x)= 1
::: elders f(x) = 0
 
Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen moeten we altijd een integraal genomen worden. Bijvoorbeeld de kans dat X een uitkomst kleiner dan 0.5 is:
 
:::Pr(X<0.5)= <math>\int_{0}^{0.5} f(x){\rm d}x =\int_{0}^{0.5} 1.{\rm d}x = 0.5</math>
 
De kans op een bepaalde uitkomst bijvoorbeeld X= 0.37 is altijd nul, immers:
 
:::Pr(X=0.37)= <math>\int_{0.37}^{0.37} f(x){\rm d}x = 0</math>
 
 
Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid <math>f_{X}(x)</math> van een continue stochastische variabele ''X'' is: <br> <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x){\rm d}x = 1</math>.
 
Deze eigenschap volgt uit het feit dat de kansverdeling de afgeleide functie is van de cumulatieve kansverdeling. De hier genoemde integraal is gelijk aan <math>Pr(X \leq +\infty) = 1</math>.
3.498

bewerkingen