Multivariate normale verdeling: verschil tussen versies

geen bewerkingssamenvatting
(Gaussprocessen)
 
== Definitie ==
De stochastische [[vector]] <math>X = [(X_1, \dots, X_N]X_n)</math> heeft een ''multivariate normale verdeling'' met gemiddeldeverwachting <math>\mu = [(\mu_1, \dots, \mu_N]mu_n)</math> en [[covariantiematrixcovariantie]]matrix <math>\Sigma</math>de ([[positief definiet|positief definiete]]e <math>N \times N</math> n×n-[[matrix]]) &Sigma;, als de kansverdelingkansdichtheid gedefinieerdgegeven is alsdoor:
 
De stochastische [[vector]] <math>X = [X_1, \dots, X_N]</math> heeft een multivariate normale verdeling met gemiddelde <math>\mu = [\mu_1, \dots, \mu_N]</math> en [[covariantiematrix]] <math>\Sigma</math> ([[positief definiet|positief definiete]] <math>N \times N</math> [[matrix]]) als de kansverdeling gedefinieerd is als:
 
:<math>
f_X(x_1, \dots, x_Nx_n)
=
</math>
\frac
::<math>
{1}
\frac 1{\sqrt{(2\pi)^{N/2} \leftn|\Sigma\right|^{1/2}}
\exp
\left(
(-\begin{matrix}\frac 12\end{matrix}(x - \mu)^'\top \Sigma^{-1} (x - \mu)
-\frac{1}{2}
\right).
( x - \mu)^\top \Sigma^{-1} (x - \mu)
\right)
</math>
hier bij is <math>\left| \Sigma \right|</math> is de [[determinant]] of <math>\Sigma</math>.
 
hier bijDaarin is <math>\left| \&Sigma \right;|</math> is de [[determinant]] ofvan <math>\&Sigma</math>;.
Notatie: <math>X \sim N(\mu, \Sigma)</math>. Net als bij de univariate normale verdeling, is de cumulatieve kansverdelingsfunctie niet expliciet op te schrijven.
 
===Notatie===
Men noteert kort: <math>X \sim N(\mu, \Sigma)\,</math>.
 
Notatie: <math>X \sim N(\mu, \Sigma)</math>. Net als bij de univariate normale verdeling, is de cumulatieve kansverdelingsfunctie[[verdelingsfunctie]] niet expliciet opin gesloten vorm te schrijven.
 
== Speciaal geval: univariate normale verdeling ==
In het geval ''n'' = 1 is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone [[normale verdeling]].
Als ''N'' = 1 dan krijg je de univariate (gewone) [[normale verdeling]]. Dit is direct te zien, door de formule van de kansverdeling in te vullen, nu met <math>\mu</math> een [[scalair]] en <math>\Sigma</math> een positief [[scalair]]:
:<math>
f_X(x_1)
=
\frac
{1}
{(2\pi)^{1/2} \Sigma^{1/2}}
\exp
\left(
-\frac{1}{2}
( x - \mu)^2/\Sigma
\right)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\exp
\left(
-\frac{1}{2\sigma}
( x - \mu)^2
\right)
</math>
wanneer we <math>\sigma=\sqrt{\Sigma}</math> definiëren.
 
== Speciaal geval: bivariate normale verdeling ==
Als ''n'' = 2 heet de verdeling ook [[Normale verdeling#Bivariate normale verdeling|bivariate normale verdeling]]. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als
Als ''N'' = 2 dan krijg je de bivariate normale verdeling. Als je als notatie invoert <math>(x,y)=(x_1,x_2)</math> en <math>\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma^2 & \rho\sigma\tau \\ \rho\sigma\tau & \tau^2 \end{pmatrix}</math> (hierbij is <math>\rho</math> de [[correlatie]]coëfficiënt tussen ''X'' en ''Y''), dan is de formule van de kansverdeling
:<math>\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix},</math>
:<math>f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma\tau\sqrt{1-\rho^2}}\exp(-{1\over 2(1-\rho^2)}(({x-\mu \over \sigma})^2-2\rho ({x-\mu \over \sigma})({y-\nu \over \tau})+({y-\nu \over \tau})^2))</math>.
 
waarin &rho; de [[correlatiecoëfficiënt]] tussen ''X<sub>1</sub>'' en ''X<sub>2</sub>'' is.
 
== Eigenschappen ==
Als <math>X = [(X_1, \dots, X_N]X_n)\sim N(\mu,\Sigma)</math> dan, geldt:
 
* Elke willekeurige lineaire combinatie <math>Y = a'X=a_1 X_1 + \cdots + a_Na_n X_NX_n</math> heeft een (univariate) normale verdeling, met gemiddeldeverwachting <math>a'\cdot,\mu\,</math> en variantie <math>a'\ \Sigma a^\top,</math>.
* De [[karakteristieke functie]] en [[momentgenererende functie]] zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.
 
==GaussprocessenGaussproces==
Een [[Gaussproces]] is een [[stochastisch proces]] waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de [[Brownse beweging (wiskunde)|Brownse beweging]] en het [[Ornstein-Uhlenbeckproces]].
 
29.468

bewerkingen