Scheefheid: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k begcat |
Lemma opnieuw gemaakt. Vorige versie was beg, en niet volledig correct. Deze versie gebaseerd op EN en DE versies |
||
Regel 1:
[[Image:SkewedDistribution.png|thumb|200px||Voorbeeld van rechts-scheef verdeelde data]]
Het begrip '''scheefheid''' (''skewness'') is in de [[statistiek]] de meestgebruikte maat van asymmetrie. Scheefheid is zowel te berekenen voor een [[kansverdeling]] als een [[steekproef]].
==Scheefheid in een kansverdeling==
De scheefheid is het derde [[moment (wiskunde)|gestandaardiseerde moment]] van de kansverdeling en wordt genoteerd met γ<sub>1</sub>:
:<math>
\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}
</math>
Hier is μ<sub>3</sub> het derde [[moment (wiskunde)|centrale moment]] en σ de [[standaardafwijking]]. De scheefheid is dus ook te berekenen via
:<math>
\gamma_1 = \frac{{\rm E}(X-\mu)^3}{({\rm E}(X-\mu)^2)^{3/2}}.
</math>
*Een symmetrische verdeling heeft een scheefheid γ<sub>1</sub> = 0. Voorbeelden van symmetrische verdelingen zijn de [[normale verdeling]], [[uniforme verdeling]] en de [[binomiale verdeling|binomiale verdeling met succeskans ''p''=1/2]].
*Een verdeling heet rechts-scheef, als deze aan de rechterkant een langere en zwaardere staart heeft dan aan de linkerkant. Deze benaming is enigszins verwarrend omdat dit automatisch inhoudt dat de meeste massa zich juist ''links'' van de mediaan bevindt (zie grafiek). Voor zo'n verdeling geldt dat γ<sub>1</sub> > 0. Een voorbeeld van een rechts-scheve verdeling is de [[Gamma-verdeling|Gamma(''k'',θ)-verdeling]], waarvoor geldt dat γ<sub>1</sub> = 2k<sup>-1/2</sup>.
*Wanneer de zwaardere staart zich aan de linkerkant bevindt, heet de verdeling links-scheef. Voor zo'n verdeling geldt dat γ<sub>1</sub> < 0. Een voorbeeld van een links-scheve verdeling is de [[Beta-verdeling|Beta(1,0)-verdeling]] ''f''(''x'')=1/(1-''x'') (0 < ''x'' <1), met scheefheid γ<sub>1</sub> ≈ -0.94.
==Scheefheid in een steekproef==
Voor een steekproef ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> is de scheefheid te berekenen via
:<math>
g_1 = \frac{\sqrt{n\,}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}},
</math>
waarbij <math>\bar{x}</math> het steekproefgemiddelde is. Omdat deze schatter geen [[zuivere schatter]] is, dat wil zeggen <math>{\rm E}g_1 \neq \gamma_1</math>, wordt in praktijk meestal de volgende, wel zuivere, schatter gebruikt
:<math>
G_1 = \frac{\sqrt{n\,(n-1)}}{n-2}\; g_1.
</math>
===Voorbeeld===
Beschouw de steekproef 1, 2, 4, 8. Hiervoor geldt ''n'' = 4 en <math>\bar{x}</math>=3.75. De scheefheid is als volgt
:<math>
g_1 = \frac{\sqrt{4\,}\sum_{i=1}^4 (x_i-.75)^3}{\left(\sum_{i=1}^4 (x_i-3.75)^2\right)^{3/2}},
</math>
:<math> = \frac{2 \times 50.625}{28^{3/2}} \approx 0.66,</math>
en
:<math>G_1 = \frac{\sqrt{4\times 3}}{2} g_1 \approx 1.14.</math>
==Andere maten van asymmetrie==
[[Karl Pearson]] suggereerde twee asymmetrie-maten die eenvoudiger te berekenen zijn:
Karl Pearson suggested two simpler calculations as a measure of skewness:
* ([[gemiddelde]] - [[modus]]) / [[standaardafwijking]]
* 3*(gemiddelde - [[mediaan]]) / standaardafwijking
Deze maten zijn echter minder gebruikelijk geraakt sinds de opkomst van de computer, die het berekenen van de gewone scheefheidsmaat vergemakkelijkte.
{{Beschrijvende statistiek}}
| |||