Gradiënt (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
[[Bestand:3d-gradient-cos.svg|thumb
In de wiskundige [[Analyse (wiskunde)|analyse]] geeft de '''gradiënt''' van een [[multivariabele analyse|functie van meer veranderlijke]]n, een [[scalair veld]], de [[richting]] aan waarin die [[functie (wiskunde)|functie]] het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone [[cartesisch coördinatenstelsel|cartesische coördinaten]] de [[vector (wiskunde)|vector]] is van [[partiële afgeleide]]n, is de generalisatie in meer [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] van het begrip [[afgeleide]].▼
▲In de wiskundige [[Analyse (wiskunde)|analyse]] geeft de '''gradiënt''' van een [[multivariabele analyse|functie van meer veranderlijke]]n, een [[scalair veld]], de [[richting]] aan waarin die [[
==Definitie==▼
Met
▲== Definitie ==
Onder de gradiënt van een reële functie <math>f</math> van <math>n</math> reële veranderlijken <math>x_1, x_2,\ldots, x_n</math> in een punt <math>a</math> van <math>\R^n</math> verstaat men de [[vector (wiskunde)|vector]] <math>\mathrm{grad}\ f</math> met als componenten de [[partiële afgeleide]]n van <math>f</math> in <math>a</math>, dus:
Regel 13 ⟶ 16:
Als deze partiële afgeleiden in (een [[Open verzameling|open deelverzameling]] van) <math>\R^n</math> bestaan, bepaalt de gradiënt van <math>f</math> een [[vectorveld]].
== Voorbeeld ==▼
▲==Voorbeeld==
Voor de driedimensionale functie <math>f : \R^3 \to \R</math> is dus:
Regel 27 ⟶ 28:
:<math>\nabla f = (6x^5-z, -1, -x)</math>,
wat een
▲Met elke ([[oriëntatie (wiskunde)|georiënteerde]]) [[Richting (wiskunde)|richting]] van <math>\R^n</math> komt een [[richtingsafgeleide]] van <math>f</math> in <math>a</math> overeen. Als <math>f</math> differentieerbaar is in <math>a</math>, dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.
== Gekromde ruimten ==
Op een algemene [[gladde variëteit]] noteert men <math>\mathrm{d}f</math> voor de [[Differentiaalvorm|eenvorm]] ([[Raakruimte|covectorveld]]) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van <math>f</math> in dat coördinatenstelsel.
|