Gradiënt (wiskunde): verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
[[Bestand:3d-gradient-cos.svg|thumb|right|350px|De gradiënt van de functie {{math|f(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} voorgesteld als een projectie van het [[vectorveld]] op het onderste vlak]]
In de wiskundige [[Analyse (wiskunde)|analyse]] geeft de '''gradiënt''' van een [[multivariabele analyse|functie van meer veranderlijke]]n, een [[scalair veld]], de [[richting]] aan waarin die [[functie (wiskunde)|functie]] het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone [[cartesisch coördinatenstelsel|cartesische coördinaten]] de [[vector (wiskunde)|vector]] is van [[partiële afgeleide]]n, is de generalisatie in meer [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] van het begrip [[afgeleide]].
 
In de wiskundige [[Analyse (wiskunde)|analyse]] geeft de '''gradiënt''' van een [[multivariabele analyse|functie van meer veranderlijke]]n, een [[scalair veld]], de [[richting]] aan waarin die [[functieFunctie (wiskunde)|functie]] het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone [[cartesisch coördinatenstelsel|cartesische coördinaten]] de [[vectorVector (wiskunde)|vector]] is van [[partiële afgeleide]]n, is de generalisatie in meer [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] van het begrip [[afgeleide]]. De gradiënt is formeel hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van <math>f</math>.
==Definitie==
 
Met elkeieder ([[oriëntatievectorveld (wiskunde)|georiënteerde]]) [[Richting (wiskunde)|richting]] vanin <math>\R^n</math> komt een [[richtingsafgeleide]] van <math>f</math> in <math>a</math> overeen. Als <math>f</math> [[Differentieerbaarheid|differentieerbaar]] is in <math>a</math>, dan bepalen de richting en oriëntatie vanbepaalt de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleidenrichtingsafgeleide.
 
== Definitie ==
Onder de gradiënt van een reële functie <math>f</math> van <math>n</math> reële veranderlijken <math>x_1, x_2,\ldots, x_n</math> in een punt <math>a</math> van <math>\R^n</math> verstaat men de [[vector (wiskunde)|vector]] <math>\mathrm{grad}\ f</math> met als componenten de [[partiële afgeleide]]n van <math>f</math> in <math>a</math>, dus:
 
Regel 13 ⟶ 16:
Als deze partiële afgeleiden in (een [[Open verzameling|open deelverzameling]] van) <math>\R^n</math> bestaan, bepaalt de gradiënt van <math>f</math> een [[vectorveld]].
 
== Voorbeeld ==
Formeel is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van <math>f</math> (zie [[differentieerbaarheid]]).
 
==Voorbeeld==
Voor de driedimensionale functie <math>f : \R^3 \to \R</math> is dus:
 
Regel 27 ⟶ 28:
:<math>\nabla f = (6x^5-z, -1, -x)</math>,
 
wat een [[vectorveld]] in drie dimensies voorstelt.
 
==Sterkste variatie==
Met elke ([[oriëntatie (wiskunde)|georiënteerde]]) [[Richting (wiskunde)|richting]] van <math>\R^n</math> komt een [[richtingsafgeleide]] van <math>f</math> in <math>a</math> overeen. Als <math>f</math> differentieerbaar is in <math>a</math>, dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.
 
== Gekromde ruimten ==
Op een algemene [[gladde variëteit]] noteert men <math>\mathrm{d}f</math> voor de [[Differentiaalvorm|eenvorm]] ([[Raakruimte|covectorveld]]) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van <math>f</math> in dat coördinatenstelsel.