Tralie (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Ik haal alleen dubbele tekst weg. |
||
Regel 1:
[[Bestand:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|300px|thumb|Hasse-diagram van de tralie van de partities van {1,2,3,4}]]
In de [[wiskunde]] is een '''tralie''' een [[Partiële orde|partieel geordende]] [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] waarvan elke [[Eindige verzameling|eindige]] [[deelverzameling]] zowel een [[supremum]] als een [[infimum]] heeft. Supremum en infimum kunnen buiten de gekozen deelverzameling liggen. De naam is afkomstig van de voorstelling van een tralie in een [[hasse-diagram]], waarin de in de ordening vergelijkbare elementen door een [[Lijn (meetkunde)|lijn]] zijn verbonden en het kleinere element lager geplaatst is dan het grotere. De zo ontstane figuur doet in sommige gevallen aan een traliewerk denken.
Het hasse-diagram van een eindige tralie bestaat uit een graaf met één [[Grafentheorie#Componenten en samenhangende grafen|component]], omdat ieder paar elementen zowel een supremum als een infimum heeft. Twee elementen uit verschillende componenten van een graaf hebben geen gezamenlijk supremum of infimum.
Naast de definitie van een tralie als een bijzondere partieel geordende verzameling, is er een equivalente definitie als speciale [[algebraïsche structuur]] met twee [[Binaire operatie|binaire bewerkingen]] die een partiële orde induceren. De algebraïsche structuur is op partieel geordende verzameling gebaseerd.
== Geschiedenis ==
Regel 25:
[[Associativiteit (wiskunde)|associativiteit]]
:<math>a \lor (b \lor c) = \sup\{a,b \lor c\} = \sup\{a,b,c\} = (a \lor b) \lor c</math>
:<math>a \land (b \land c) = \inf\{a,b \land c\} = \inf\{a,b,c\} = (a \land b) \land c</math>
[[commutativiteit]]
Regel 33:
[[Absorberend element|absorptie]]
:<math>a \lor (a \land b) = \sup\{a \inf\{a,b\} \} = a</math>
:<math>a \land (a \lor b) = \inf\{a \sup\{a,b\} \} = a</math>
Van deze eigenschappen zijn de associativiteit en commutativiteit tamelijk gewoon voor binaire bewerkingen. Het bijzondere schuilt hier in de absorptie-eigenschap: deze bepaalt het karakter van de bewerkingen.
Regel 67:
De beide definities van een tralie zijn equivalent in de zin dat in een tralie als partieel geordende verzameling het supremum en het infimum twee binaire bewerkingen zijn die voldoen aan de daaraan gestelde eisen voor een tralie als algebraïsche structuur, en omgekeerd de binaire bewerkingen in een tralie als algebraïsche structuur een partiële orde induceren met de verlangde eigenschap.
Stel dat de partieel geordende verzameling <math>(L, \le)</math> een tralie is.
Als omgekeerd de algebraïsche structuur <math>(L, \lor, \land)</math> een tralie is, kan een partiële ordening <math>\le</math> gedefinieerd worden door:
| |||