Tralie (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
definities van dezelfde begrippen bij elkaar |
Versie 61665544 van ChristiaanPR (overleg) ongedaan gemaakt. Ik zie niet in wat de bedoeling is Label: Ongedaan maken |
||
Regel 1:
[[Bestand:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|300px|thumb|Hasse-diagram van een tralie]]
In de [[wiskunde]] is een '''tralie''' een [[Partiële orde|partieel geordende]] [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] waarvan elke [[Eindige verzameling|eindige]] [[deelverzameling]] zowel een [[supremum]] als een [[infimum]] heeft
Het hasse-diagram van een eindige tralie bestaat uit een graaf met één [[Grafentheorie#Componenten en samenhangende grafen|component]], omdat ieder paar elementen zowel een supremum als een infimum heeft. Twee elementen uit verschillende componenten van een graaf hebben geen gezamenlijk supremum of infimum.
Regel 22:
=== Definitie ===
Een
:<math>a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c</math>
:<math>a \land (b \land c) = (a \land b) \land c</math>
:<math>a \lor (b \lor c) = \sup\{a,b \lor c\} = \sup\{a,b,c\} = (a \lor b) \lor c</math> ▼
en▼
:<math>a \land (b \land c) = \inf\{a,b \land c\} = \inf\{a,b,c\} = (a \land b) \land c</math> ▼
:<math>a \lor b = b \lor a</math>
:<math>a \land b = b \land a</math>
:
▲:<math>a \lor (a \land b) = \sup\{a,\inf\{a,b\}\} = a</math>
en▼
:<math>a \land (a \lor b) = \inf\{a,\sup\{a,b\}\} = a</math>▼
Van deze eigenschappen zijn de associativiteit en commutativiteit tamelijk gewoon voor binaire bewerkingen. Het bijzondere schuilt hier in de absorptie-eigenschap: deze bepaalt het karakter van de bewerkingen.
Regel 78 ⟶ 67:
De beide definities van een tralie zijn equivalent in de zin dat in een tralie als partieel geordende verzameling het supremum en het infimum twee binaire bewerkingen zijn die voldoen aan de daaraan gestelde eisen voor een tralie als algebraïsche structuur, en omgekeerd de binaire bewerkingen in een tralie als algebraïsche structuur een partiële orde induceren met de verlangde eigenschap.
Stel dat de partieel geordende verzameling <math>(L, \le)</math> een tralie is.
▲:<math>
▲en
▲:<math>
Ook gelden de absorpte-eigenschappen:
:<math>x \lor (x \land y) = \sup\{x,\inf\{x,y\}\} = x</math>
▲en
Als omgekeerd de algebraïsche structuur <math>(L, \lor, \land)</math> een tralie is, kan een partiële ordening <math>\le</math> gedefinieerd worden door:
| |||