|
[[Bestand:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|300px|thumb|Hasse-diagram van een tralie]]
In de [[wiskunde]] is een '''tralie''' een [[VerzamelingPartiële (wiskunde)orde|verzamelingpartieel geordende]] met een [[partiëleVerzameling orde(wiskunde)|verzameling]], waarvan elke eindige [[deelverzamelingEindige verzameling|eindige]], dus in het bijzonder ieder paar [[Element (wiskunde)|elementendeelverzameling]], zowel een [[supremum]] als een [[infimum]] heeft. De naam is afkomstig van de voorstelling van een tralie in een [[hasse-diagram]], waarin de in de ordening vergelijkbare elementen door een [[Lijn (meetkunde)|lijn]] zijn verbonden en het kleinere element lager geplaatst is dan het grotere. De zo ontstane figuur doet in sommige gevallen aan een traliewerk denken.
Het hasse-diagram van een eindige tralie bestaat uit een graaf met één [[Grafentheorie#Componenten en samenhangende grafen|component]], omdat ieder paar elementen zowel een supremum als een infimum heeft. Twee elementen uit verschillende componenten van een graaf hebben geen gezamenlijk supremum enof infinum, dus zijn geen element van dezelfde tralieinfimum.
Naast de definitie van een tralie als een bijzondere partieel geordende verzameling, is er een equivalente definitie als speciale [[algebraïsche structuur]] met twee [[Binaire operatie|binaire bewerkingen]] die een partiële orde induceren.
== Geschiedenis ==
== Definitie ==
Een ''tralie'' is een partieel geordende verzameling <math>(L, \le)</math>, waarin voor elk tweetal elementen <math>x</math> en <math>y</math> de verzameling <math>\{x,y\}</math> zowel een [[supremum]] (kleinste bovengrens) <math>x \lor y</math> als een [[infimum]] (grootste ondergrens) <math>x \land y</math> heeft.
Uit deze definitie volgt direct dat elke eindige, niet-lege deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft. Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet [[Begrensdheid|begrensd]]. Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een begrensde tralie. ▼
▲Uit dezede definitie volgt direct dat elke eindige, niet-lege deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft. Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet [[Begrensdheid|begrensd]]. Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een begrensde tralie.
=== Ordening ===
Ordening en de begrippen supremum en infimum zijn met elkaar verbonden, in feite leggen supremum en infimum de ordening vast. Als namelijk <math>(L, \le)</math> en <math>(L, \le')</math> twee [[Isomorfisme|isomorfe]] tralies zijn, twee tralies die dezelfde bewerkingen voor het supremum en infimum opleveren, geldt <math>\,\le\,=\,\le'\,</math>, dan hebben beide tralies dezelfde [[partiële orde]]ning. De ordening wordt immers bepaald door:
:<math>x \le y \Leftrightarrow x = x \land y</math>
of equivalent door
:<math>x \le y \Leftrightarrow y = x \lor y</math>
Dus:
:<math>x \le y \Leftrightarrow x = x \land y \Leftrightarrow x \le' y </math>.
=== Dualiteit ===
| 