Injectie (wiskunde): verschil tussen versies

[[Afbeelding:Injection.svg|thumb|Een injectieveInjectieve, niet [[Surjectie|surjectieve]] functie]]

In de [[wiskunde]] is een '''injectie''' of '''injectieve afbeelding''', ook '''eeneenduidige afbeelding''' of '''een-op-eenafbeelding''' genoemd, een [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]], waarbij geen twee (verschillende) [[elementElement (wiskunde)|element]]en hetzelfde [[beeldBeeld (wiskunde)|beeld]] hebben, dus anders gezegd elkieder beeld een uniek origineel heeft. De definitie is voor [[Functie (wiskunde)|functies]] hetzelfde. Een injectie is dus een soort [[Relatie (wiskunde)|relatie]] tussen twee [[Verzameling (wiskunde)|verzamelingen]]. Twee verwante soorten relatie, die aan overeenkomstige eigenschappen voldoen, zijn de [[surjectie]] en de [[bijectie]].

De termaanduiding 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]].

== Definitie ==

De afbeelding <math>f\colon A \to B</math> heet een ''injectie'' of ''injectieve afbeelding'' als voor alle <math>a,b \in \mathrm{dom}(f)</math> geldt:

=== Voorbeeld en tegenvoorbeeld ===

* Beschouw daarentegen de afbeelding <math>g\colon\R \rightarrow \R</math> , gedefinieerd door <math>g(x)= x^2</math>. Deze is ''niet'' injectief, omdat bijvoorbeeld <math>g(1)= g(-1)=1</math>, endus er dus verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

== Eigenschappen ==

* Zijn twee functies <math>f \colon A \to B</math> en <math>g \colon B \to C</math> injectief, dan geldt dit ook voor de [[functie-compositieFunctiecompositie|samengestelde functie]] <math>g \circ f \colon A \to C</math>.

*Uit deGegeven injectiviteit vandat <math>g \circ f</math> volgtinjectief datis, dan is ook <math>f</math> injectief is.

* Een functie <math>f \colon A \to B</math> is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling <math>C</math> en ieder tweetal functies <math>h_1,h_2 \colon C \to A</math> de [[logische implicatie]] <math>f \circ h_1=f \circ h_2\Rightarrow h_1=h_2</math> geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de [[monomorfismeMonomorfisme|monomorfismen]] precies de injectieve functies zijn.

* Een functie <math>f \colon A \to B</math> is injectief dan en slechts dan als zij een ''linksinverse''[[inverse]] heeft, dat wil zeggen een functie <math>g \colon B \to A</math> met de eigenschap dat <math>f \circ g=g \circ f=id_A</math>. (hierHier wordt met <math>id_A</math> de identiteitsfunctie[[identieke afbeelding]] bedoeld). De definitie kan eventueel ook tot de linksinverse worden beperkt.

* Als <math>f \colon A \to B</math> injectief is, dan is de co-restrictie <math>f \colon A \to f(A)</math>, (dat wil zeggen dezelfde functie, waarin alleen het [[codomein]] <math>B</math> is vervangen door het [[Beeld (wiskunde)|beeld]] <math>f(A)</math>), bijectief. Hier is dus in ieder geval <math>f(A) \subset B</math>.

* Voor twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> wordt de notatie <math>|A|\leq |B|</math> wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie <math>f \colon A \to B</math> bestaat. In dit geval heeft <math>B</math> minstens evenveel elementen als <math>A</math>;. Om hierover voor [[oneindige verzamelingenverzameling]]en wordtiets ditte precieskunnen gemaaktzeggen metwordt het begripde [[kardinaliteit]] ingevoerd. Als er tweeeen injectiesinjectie <math>A \to B</math> en een injectie <math>B \to A</math> bestaan, garandeertis er volgens de [[stelling van Cantor-Bernstein-Schröder]] dat er eveneensook een [[bijectie]] tussen <math>A</math> en <math>B</math> bestaat.