Reëel getal: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
→Geschiedenis: hier was kennelijk iets weggevallen |
||
Regel 58:
In de 18e en 19e eeuw werd er veel werk verricht aan de irrationale en [[Transcendent getal|transcendente getallen]]. in 1761 gaf [[Johann Heinrich Lambert]] het eerste gebrekkige bewijs dat π geen rationaal getal kan zijn. [[Adrien-Marie Legendre]], in 1794, voltooide het bewijs en toonde aan dat π geen vierkantswortel van een rationaal getal kan zijn. [[Paolo Ruffini (wetenschapper)|Paolo Ruffini]], in 1799, en [[Niels Henrik Abel]], in 1842, construeerden beide [[Wiskundig bewijs|bewijzen]] voor de [[stelling van Abel-Ruffini]], die stelt dat de algemene [[vijfdegraadsvergelijking]] en vergelijkingen van hogere [[graad (polynoom)|graad]] niet kunnen worden opgelost door een algemene formule die alleen [[Operatie (wiskunde)|rekenkundige bewerkingen]] en wortels bevat.
[[Évariste Galois]] ontwikkelde in 1832 technieken om te bepalen of een gegeven vergelijking al of niet met wortels kan worden uitgeschreven. Verdere uitwerking van zijn ideeën leidde later tot de ontwikkeling van de [[Galoistheorie]]. [[Joseph Liouville]], in 1840, toonde aan dat noch <math>e</math> noch <math>e^2</math> een wortel kan zijn van een geheeltallige vierkantsvergelijking, vervolgens stelde hij het bestaan van [[transcendent getal|transcendente getallen]] vast. [[Georg Cantor]], in 1873, gaf een eenvoudiger bewijs voor het bestaan van transcendente getallen. [[Charles Hermite]], in 1873, bewees als eerste dat [[e (wiskunde)|''e'']] transcendent is en [[Ferdinand von Lindemann]], in 1882, toonde aan dat π transcendent is. Lindemanns bewijs is later, in 1885, sterk door [[Karl Weierstrass]] vereenvoudigd en in 1893 nog meer door [[David Hilbert]]. Daarna nog [[Adolf Hurwitz]] en [[Paul Gordan]] gaven het bewijs de definitieve vorm.
De ontwikkeling van de [[Analyse (wiskunde)|analyse]] in de 18e eeuw maakte gebruik van de volledige [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van reële getallen zonder dat deze netjes waren gedefinieerd. De eerste correcte definitie werd in 1871 door [[Georg Cantor]] gegeven. In 1874 toonde hij aan dat de verzameling van alle reële getallen [[Overaftelbaarheid|overaftelbaar oneindig]] is, maar dat de verzameling van alle [[Algebraïsch getal|algebraïsche getallen]] aftelbaar oneindig is. Hij gaf zijn [[Diagonaalbewijs van Cantor|diagonaalbewijs]] in 1891, maar had in 1874 al een [[Cantors eerste overaftelbaarheidsbewijs|eerder bewijs]] gepubliceerd.
| |||