Viervector: verschil tussen versies

114 bytes toegevoegd ,  4 maanden geleden
geen bewerkingssamenvatting
kGeen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
{{Zijbalk speciale relativiteitstheorie}}
Een '''viervector''' is een elementair wiskundig object in de (speciale) [[relativiteitstheorie]]. Het is een uitbreiding van het begrip [[Vector (wiskunde)|vector]] in de [[klassieke natuurkunde]]. Net zoals een gewone natuurkundige vector een natuurkundige grootheid is die onafhankelijk van het [[coördinatenstelsel]] betekenis heeft, en afhankelijk van het coördinatenstelsel wordt gegeven door drie coördinaten, zo is een viervector een natuurkundige grootheid die ook onafhankelijk van het coördinatenstelsel betekenis heeft, en afhankelijk van het [[inertiaalstelsel]] wordt gegeven door een [[scalair|scalar]] en een vector, die bij elkaar gerepresenteerd worden door vier [[coördinaatCoördinaat|coördinaten]].
 
==Inleiding==
Het basisidee van de [[speciale relativiteitstheorie]] is het op gelijke voet behandelen van [[ruimteRuimte (natuurkunde)|ruimte]] en [[tijd]]. Dit volgt uit het inzicht dat ruimte en tijd geen afzonderlijke grootheden zijn, maar tezamen één geheel vormen, [[ruimtetijd]] genaamd. Dit inzicht is een noodzakelijk gevolg van de experimentele waarneming dat de [[lichtsnelheid]] dezelfde waarde heeft, voor alle waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen (''[[inertiaalstelsel]]s''inertiaalstelsels).
 
In de klassieke mechanica treedt een soortgelijk fenomeen op. Het is duidelijk dat men een systeem kan beschrijven in verschillende coördinatenstelsels. Er is dus geen absolute betekenis te geven aan wat men de <math>x</math>-, <math>y</math>- en <math>z</math>-coördinaat noemt. In de mechanica wordt vaak gebruikgemaakt van [[Vector (wiskunde)|vectoren]]: veel grootheden, zoals snelheid, positie, kracht, e.d., die op natuurlijke wijze drie componenten hebben. Afzonderlijk hebben de componenten geen fysische betekenis, aangezien een andere keuze van assenstelsel de waardes van de componenten van de vector zal veranderen. Als geheel is een vector wel zinvol, en is dus eigenlijk mede gedefinieerd door hoe de componenten veranderen onder een verandering van assenstelsel.
 
Het begrip viervector generaliseert dit begrip, ruwweg door aan vectoren ook een tijd-component toe te voegen. Het eenvoudigste voorbeeld is de aanduiding van een plaats. In de klassieke mechanica gebeurt dit door drie coördinaten <math>x,y</math> en <math>z</math> op te geven. Dat beschrijft een bepaalde positie in de ruimte, zonder een tijdstip te specifiëren. Een ''positie-viervector'' (ruimtetijdpositie) ziet er als volgt uit:
:<math>(ct, x, y, z)</math>
 
en bepaalt dus een positie <math>(x,y,z)</math> op een welbepaald tijdstip <math>t</math>. Anders uitgedrukt: deze vector beschrijft de positie van een [[gebeurtenisGebeurtenis (relativiteit)|gebeurtenis]] in de ruimtetijd. In de uitdrukking hierboven is <math>c</math> de [[lichtsnelheid]], die als factor garandeert dat de verschillende componenten van de viervector alle dezelfde eenheid lengte hebben. Het is voor een bondige notatie gebruikelijk een vector <math>(x,y,z)</math> te schrijven als <math>x^i</math>, met <math>i=1,2,3</math>. Analoog noteert men een positie-viervector als
:<math>\vec{X}^\mu = (X^0, X^1, X^2, X^3)</math>
 
 
Ook noteert men
:<math> \vec{X} =\left (ct, x, y, z \right) </math>
 
Op gelijksoortige wijze kan men het verschil tussen twee posities in de ruimtetijd weergeven als volgt:
 
:<math> \Delta \vec{X} = \left(\Delta ct, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right) </math>
 
===Minkowskitensor===
De ''minkowskitensor'' <math>\eta_{\mu \nu}</math> = \mathrm{diag }(1,-1,-1,-1)</math> is de [[metrische tensor]] voor de [[speciale relativiteitstheorie]]. Deze definieert een [[symmetrische bilineaire vorm]] voor viervectoren:
 
:<math>
</math>
 
Soms wordt een andere [[tekenconventie]] gebruikt waarbij de [[Matrix (wiskunde)|matrix]] <math>\eta_{\mu \nu}</math> tegengestelde tekens op de diagonaal heeft: <math>(-1,1,1,1)</math>
 
===Lorentztransformaties===
{{Zie hoofdartikel|Lorentztransformatie}}
In de speciale relativiteitstheorie worden de [[galileitransformatie]]s vervangen door [[lorentztransformatie]]s. Deze beschrijven hoe coördinaten veranderen als men van [[inertiaalstelsel]] verandert, dat wil zeggen overstapt naar een stelsel dat met een constante snelheid ten opzichte van het eerste beweegt. Als deze snelheid in de (positieve of negatieve) ''<math>x''</math>-richting is, dan geldt:
:<math>\begin{cases}
ct' &= \gamma \left( ct - \frac vc{v}{c} x\right) \\
x' & = \gamma \left( x - v t \rightvt)= \gamma \left( x - \frac vc{v}{c} ct \right)\\
y' & = y \\
z' & = z
\end{cases}</math>
 
met <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}</math> de [[lorentzfactor]].
Men kan dit ook inals [[Matrix (wiskunde)|matrix]]vorm schrijven:
:<math>
\begin{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & -\beta \gamma& 0 & 0 \\
-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
met <math>\beta = \frac{v}{c}</math> en <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>
 
 
Als de relatieve snelheid '''''<math>\vec{v'''''} = (v_x,v_y,v_x)</math> van de stelsels in een willekeurige richting is, dankrijgt krijgen we,men in [[blokmatrix]]notatie:
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\
\mathbfvec{r'}'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & - \gamma \boldsymbolvec{\beta}^\mathrm{T} \\
-\gamma\boldsymbolvec{\beta} & \mathbf{I} + (\gamma-1) \boldsymbolvec{\beta}\boldsymbolvec{\beta}^\mathrm{T}/\beta^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\
\mathbfvec{r}
\end{bmatrix}\,
</math>
 
waarbij '''<math>\mathbf{I'''}</math> de 3×3 -[[eenheidsmatrix]] is, '''''β'''''en <math>\vec{\beta}= '''''\vec{v'''''}/c, en</math>; T geeft [[getransponeerdeGetransponeerde matrix|transponering]] aangeeftaan.
 
Deze [[symmetrische matrix]] is van toepassing bij een verandering van inertiaalstelsel zonder rotatie, en met gelijkblijvende oorsprong, ook voor alle andere typen viervectoren.
In [[einsteinnotatie]] met onderscheid tussen ''covariante'' viervectoren (zoals de vierpositie) en ''contravariante'' viervectoren, zoals hierboven al toegepast, geldt voor een met contravariante viervector <math>U^\mu</math> geassocieerde ''covariante'' vector <math>U_\nu</math>:
:<math> U_\nu = \eta_{\mu\nu} U^\mu</math>
 
en omgekeerd:
:<math> U^\mu = \eta^{\mu\nu} U_\nu</math>
hierbij is <math>\eta^{\mu\nu}</math> de [[inverse matrix|inverse]] van minkowskitensor <math>\eta_{\mu\nu}</math>, die dezelfde elementen heeft, de matrix is weer diag(1,-1,-1,-1).
 
hierbij is <math>\eta^{\mu\nu}</math> de [[inverse matrix|inverse]] van minkowskitensor <math>\eta_{\mu\nu}</math>, die dezelfde elementen heeft, de matrix is weer <math>\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>.
De [[lorentzinvariantie]] houdt zoals gezegd in dat <math>\eta_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu} = U^{\mu} U_{\mu}</math> niet van het inertiaalstelsel afhangt.
 
De [[lorentzinvariantie]] houdt zoals gezegd in dat <math>\eta_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu} = U^{\mu} U_{\mu}</math> niet van het inertiaalstelsel afhangt.
 
==Voorbeelden==
===Positie-viervector===
De al genoemde positie-viervector/ruimtetijdpositie is van de vorm <math>\begin{bmatrix} c t \\ \mathbfvec{r} \end{bmatrix}</math>. Voor een object krijgt men als functie van de [[eigentijd]] <math> \tau \, </math> dus <math>\begin{bmatrix} c t(\tau) \\ \mathbfvec{r}(\tau) \end{bmatrix} </math>.
 
Onder [[ruimtetijdinterval]] wordt verstaan <math>c^2 (\Delta t)^2 - ||\Delta \mathbf vec{r}||^2</math>, datwat niet van het inertiaalstelsel afhangt.
 
===Viersnelheid===
De viersnelheid '''<math>\mathbf{V'''}</math> van een object is de afgeleide van de ruimtetijdpositie als functie van de eigentijd, <math>\mathbf{V}\gamma \begin{bmatrix} c \\ \mathbfvec{v} \end{bmatrix} </math>, met <math> \mathbfvec{v} </math> de gewone [[snelheid]].
 
Er geldt <math>g_{\mu \nu} \mathbf {V}^{\mu} \mathbf {V}^{\nu} = \mathbf {V}^{\mu} \mathbf V_{V}_\nu} = c^2</math>.
 
===Vierimpuls===
Het vierimpuls is de viervector corresponderend met het [[Impuls (natuurkunde)|impuls]]. Het is de [[rustmassa]] m<sub>0</sub> maal de viersnelheid:
:<math>\mathbf{P} = m_0 \mathbf{V}= m_0 \gamma \begin{bmatrix} c \\ \mathbfvec{v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E/c \\ \mathbfvec{p} \end{bmatrix} </math>
 
<math>\mathbfvec{p} = m_0 \gamma \mathbfvec{v} </math> is hierbij de [[relativistische impuls]].
 
Er geldt <math>\eta_{\mu \nu} \mathbf {P}^{\mu} \mathbf {P}^{\nu} = \mathbf {P}^{\mu} \mathbf P_{P}_\nu} = m_0^2 c^2 = E^2/c^2 - || \mathbfvec{p}||^2</math> ([[energie]]-impulsrelatie).
 
===Vierkracht===
De vierkracht is de viervector corresponderend met [[kracht]]. Het is de afgeleide naar de eigentijd van hetde viermomentumvierimpuls:
 
:<math>\vecmathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\vecmathbf{P} }{\over mathrm{d}\tau}</math>
 
WeDe kunnen nu de veralgemeninggeneralisatie van de [[wettenWetten van Newton|tweede wet van Newton]] opschrijvenkan inmet deviervectoren vormgeschreven vanworden viervectorenals:
 
:<math>\vecmathbf{F} = m\vecmathbf{A} = \left(\gamma \frac{\mathrm{d}\gamma }{\over dtmathrm{d}t} mc,\gamma\vec {f}\right)</math>
met
:<math>\vec {f} = m\left(\frac{\mathrm{d}\gamma }{\over dtmathrm{d}t} \vec {v} + \gamma\frac{\mathrm{d }\vec{v} }{\over dtmathrm{d}t} \right)</math>
 
==Zie ook==
* [[Vierpotentiaal]] (de viervector geassocieerd aan de elektrische en magnetische potentiaal)
* [[Viergradiënt]]
* [[Speciale relativiteitstheorie]]
* [[Tensoren in de algemene relativiteitstheorie]]
 
== Referenties ==
* Charles W. Misner, [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Wheeler|John A. Wheeler]], ''Gravitation'', ISBN 0716703440
* Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
* R. d'Inverno, ''Introducing Einstein's Relativity'', Oxford University Press, ISBN 0198596863
 
[[Categorie:Relativiteit]]
32.727

bewerkingen