Viervector: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
{{Zijbalk speciale relativiteitstheorie}}
Een '''viervector''' is een elementair wiskundig object in de (speciale) [[relativiteitstheorie]]. Het is een uitbreiding van het begrip [[Vector (wiskunde)|vector]] in de [[klassieke natuurkunde]]. Net zoals een gewone natuurkundige vector een natuurkundige grootheid is die onafhankelijk van het [[coördinatenstelsel]] betekenis heeft, en afhankelijk van het coördinatenstelsel wordt gegeven door drie coördinaten, zo is een viervector een natuurkundige grootheid die ook onafhankelijk van het coördinatenstelsel betekenis heeft, en afhankelijk van het [[inertiaalstelsel]] wordt gegeven door een [[scalair|scalar]] en een vector, die bij elkaar gerepresenteerd worden door vier [[
==Inleiding==
Het basisidee van de [[speciale relativiteitstheorie]] is het op gelijke voet behandelen van [[
In de klassieke mechanica treedt een soortgelijk fenomeen op. Het is duidelijk dat men een systeem kan beschrijven in verschillende coördinatenstelsels. Er is dus geen absolute betekenis te geven aan wat men de <math>x</math>-, <math>y</math>- en <math>z</math>-coördinaat noemt. In de mechanica wordt vaak gebruikgemaakt van
Het begrip viervector generaliseert dit begrip, ruwweg door aan vectoren ook een tijd-component toe te voegen. Het eenvoudigste voorbeeld is de aanduiding van een plaats. In de klassieke mechanica gebeurt dit door drie coördinaten <math>x,y</math> en <math>z</math> op te geven. Dat beschrijft een bepaalde positie in de ruimte, zonder een tijdstip te specifiëren. Een ''positie-viervector'' (ruimtetijdpositie) ziet er als volgt uit:
:<math>(ct, x, y, z)</math>
en bepaalt dus een positie <math>(x,y,z)</math> op een welbepaald tijdstip <math>t</math>. Anders uitgedrukt: deze vector beschrijft de positie van een [[
:<math>\vec{X}^\mu = (X^0, X^1, X^2, X^3)</math>
Regel 15 ⟶ 16:
Ook noteert men
:<math>
Op gelijksoortige wijze kan men het verschil tussen twee posities in de ruimtetijd weergeven als volgt:
:<math>
===Minkowskitensor===
De ''minkowskitensor'' <math>\eta_{\mu \nu}
:<math>
Regel 40 ⟶ 41:
</math>
Soms wordt een andere [[tekenconventie]] gebruikt waarbij de [[Matrix (wiskunde)|matrix]] <math>\eta_{\mu \nu}</math> tegengestelde tekens op de diagonaal heeft: <math>(-1,1,1,1)</math>
===Lorentztransformaties===
{{Zie hoofdartikel|Lorentztransformatie}}
In de speciale relativiteitstheorie worden de [[galileitransformatie]]s vervangen door [[lorentztransformatie]]s. Deze beschrijven hoe coördinaten veranderen als men van
:<math>\begin{cases}
ct' &= \gamma \left( ct - \frac
x' & = \gamma
y' & = y \\
z' & = z
\end{cases}</math>
met <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 -
Men kan dit ook
:<math>
\begin{bmatrix}
Regel 60 ⟶ 61:
=
\begin{bmatrix}
\gamma & -\beta \gamma& 0 & 0 \\
-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
Regel 71 ⟶ 72:
met <math>\beta = \frac{v}{c}</math> en <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>
Als de relatieve snelheid
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\
\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & - \gamma \
-\gamma\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\
\
\end{bmatrix}\,
</math>
waarbij
Deze [[symmetrische matrix]] is van toepassing bij een verandering van inertiaalstelsel zonder rotatie, en met gelijkblijvende oorsprong, ook voor alle andere typen viervectoren.
Regel 95 ⟶ 97:
In [[einsteinnotatie]] met onderscheid tussen ''covariante'' viervectoren (zoals de vierpositie) en ''contravariante'' viervectoren, zoals hierboven al toegepast, geldt voor een met contravariante viervector <math>U^\mu</math> geassocieerde ''covariante'' vector <math>U_\nu</math>:
:<math> U_\nu = \eta_{\mu\nu} U^\mu</math>
en omgekeerd:
:<math> U^\mu = \eta^{\mu\nu} U_\nu</math>
hierbij is <math>\eta^{\mu\nu}</math> de [[inverse matrix|inverse]] van minkowskitensor <math>\eta_{\mu\nu}</math>, die dezelfde elementen heeft, de matrix is weer diag(1,-1,-1,-1).▼
▲hierbij is <math>\eta^{\mu\nu}</math> de [[inverse matrix|inverse]] van minkowskitensor <math>\eta_{\mu\nu}</math>, die dezelfde elementen heeft, de matrix is weer <math>\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>.
De [[lorentzinvariantie]] houdt zoals gezegd in dat <math>\eta_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu} = U^{\mu} U_{\mu}</math> niet van het inertiaalstelsel afhangt.▼
▲De [[lorentzinvariantie]] houdt
==Voorbeelden==
===Positie-viervector===
De al genoemde positie-viervector/ruimtetijdpositie is van de vorm <math>\begin{bmatrix} c t \\ \
Onder [[ruimtetijdinterval]] wordt verstaan <math>c^2 (\Delta t)^2 - ||\Delta \
===Viersnelheid===
De viersnelheid
Er geldt <math>g_{\mu \nu} \mathbf
===Vierimpuls===
Het vierimpuls is de viervector corresponderend met het [[Impuls (natuurkunde)|impuls]]. Het is de [[rustmassa]] m<sub>0</sub> maal de viersnelheid:
:<math>\mathbf{P} = m_0 \mathbf{V}= m_0 \gamma \begin{bmatrix} c \\ \
<math>\
Er geldt <math>\eta_{\mu \nu} \mathbf
===Vierkracht===
De vierkracht is de viervector corresponderend met [[kracht]]. Het is de afgeleide naar de eigentijd van
:<math>\
:<math>\
met
:<math>\vec
==Zie ook==
Regel 135 ⟶ 139:
* [[Vierpotentiaal]] (de viervector geassocieerd aan de elektrische en magnetische potentiaal)
* [[Viergradiënt]]
* [[Tensoren in de algemene relativiteitstheorie]]
== Referenties ==
* Charles W. Misner, [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Wheeler|John A. Wheeler]], ''Gravitation'', ISBN 0716703440
* Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
* R. d'Inverno, ''Introducing Einstein's Relativity'', Oxford University Press, ISBN 0198596863
[[Categorie:Relativiteit]]
|