Lie-groep: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Oscar Zariski (overleg | bijdragen)
Oscar Zariski (overleg | bijdragen)
Regel 35:
 
===Gerelateerde begrippen===
Een ''complexe lie-groep'' wordt op dezelfde manier gedefinieerd door gebruik te maken van [[complexe variëteit]]en in plaats van reële (bijvoorbeeld: <math>\mathrm{SL}_2(\Complex)</math>), en op dezelfde wijze kan men een ''<math>p</math>-adische lie-groep'' over de [[p-adisch getal|<math>p</math>-adische getallen]] definiëren. [[Hilberts vijfde probleem]] komt neer op de vraag of het vervangen van differentieerbare variëteiten door topologische- of analytische variëteiten nieuwe voorbeelden kan opleveren. Het antwoord hierop bleek negatief te zijn: in 1952 toonden [[Andrew Gleason|Gleason]], [[Deane Montgomery|Montgomery]] en [[Leo Zippin|Zippin]] aan dat als <math>G</math> een topologische variëteit met continue groepsbewerkingen zou zijn, er precies een analytische structuur op <math>G</math> zou bestaan die in een lie-groep verandert (zie ook het [[vermoeden van Hilbert-Smith]]). Als men toestaat dat de onderliggende variëteit oneindig dimensionaal is (bijvoorbeeld, een [[hilbert-variëteit]]), komt men bij het begrupbegrip van een oneindig-dimensionale lie-groep terecht. Het is mogelijk om analoga van vele [[groep van het Lie-type|lie-groepen over eindige velden]] te definiëren, en dezen geven de meeste van de voorbeelden van [[Lijst van eindige enkelvoudige groepen|eindige enkelvoudige groep]]en.
 
De taal van de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheore]] voorziet in een beknopte definitie van lie-groepen: een lie-groep is een [[groepsobject]] in de [[categorie (wiskunde)|categorie]] van [[differentieerbare variëteit|gladde variëteit]]en. Dit is belangrijk, omdat het generalisatie van het begrip lie-groep naar [[supergroep (natuurkunde)|lie-supergroepen]] mogelijk maakt.