|
De haakjes in de uitdrukking geven aan dat <math>\bmod m</math> van toepassing is op de hele vergelijking, en niet alleen op het rechterlid. Wel moet opgemerkt worden dat de haakjes om <math>\bmod m</math> ook wel worden weggelaten, waarbij verwarring kan ontstaan met de uitdrukking <math>b \bmod m</math> zoals hieronder gedefinieerd.
==== EigenschapEquivalentierelatie ====
Congruentie modulo <math>m</math> is een congruentierelatie, wat inhoudt dat het een [[equivalentierelatie is]] die compatibel is met de optelling en de vermenigvuldiging op de gehele getallen overeenkomt:
Als
=== Modulo-operatie ===
De modulo-operatie is een [[binaire operatie]] <math>a \bmod m</math> gedefinieerd voor ieder [[NatuurlijkGeheel getal|natuurlijkegehele getallengetal]] <math>a</math> en eenieder positief geheelgehele getal <math>m</math>, zodanigwaarvan datde [[absolute waarde]] groter is dan 1. <math>a \bmod m</math> deis restzodanig isgedefinieerd vandat deer delingeen vanander geheel getal <math>ak</math> dooris, zodat <math>a = a \bmod m + k * m</math>, d.w.z.en datzodat <math>a \bmod m</math> een van de getallen <math>0,1,\ldots,m-1</math> is. waarvoorDeze getallen <math>a - (a 0,1,\bmod ldots,m)-1</math> eencorresponderen veelvoudmet de [[equivalentieklasse]]n van de congruentierelatie. Voor positieve <math>a</math> en <math>m</math> is.betekent Dezedit getallendat <math>0,1,a \ldots,bmod m-1</math> corresponderenovereenkomt met de rest bij [[equivalentieklassegeheeltallige deling]]n van <math>a</math> door <math>m</math>. Uit de congruentierelatievergelijking <math>a = a \bmod m + k * m</math> is duidelijk dat <math>a - a \bmod m</math> een veelvoud van <math>m</math> moet zijn.
De definitie wordtkan weleventueel worden uitgebreid voor het geval dat <math>a</math> of <math>m</math> negatief is., zodat <math>a \bmod m</math> kanook danuit negatiefde kangetallen zijn<math>-m+1, \ldots , -1</math> mag worden gekozen, maar altijd wel zo dat <math>a - (a \bmod m)</math> een veelvoud van <math>m</math> is.<ref>[https://docs.microsoft.com/en-us/dotnet/visual-basic/language-reference/operators/mod-operator ModDe operatoreerst (Visualgegeven Basic)]definitie is op zich voldoende.</ref>
De operatie <math>a \bmod m</math> wordt in de meeste [[Programmeertaal|programmeertalen]] met een % weergegeven, dus als <code>a % m</code>. In spreadsheets wordt daarvoor meestal een functie gebruikt zoals <mathref>\operatorname{MOD}[[Python (a,mprogrammeertaal)</math>|Python]]. of <math>\operatorname{REST}(a;m)</math><ref>[https://helprealpython.libreoffice.orgcom/7.1python-modulo-operator/nl/text/scalc/01/04060106.html?DbPAR=CALC#bm_id3158247 REST(''a'';''m'')]Python -Modulo LibreOfficein Calc</ref>Practice: How to Use the % Operator].
</ref> In spreadsheets wordt daarvoor meestal een functie gebruikt zoals <code>MOD(a,m)</code><ref>[https://docs.microsoft.com/en-us/dotnet/visual-basic/language-reference/operators/mod-operator Mod operator (Visual Basic)].</ref> of <code>REST(a;m)</code>.<ref>[https://help.libreoffice.org/7.1/nl/text/scalc/01/04060106.html?DbPAR=CALC#bm_id3158247 REST(''a'';''m'')] - LibreOffice Calc</ref>
== Algebra ==
; literatuur
* [[Carl Friedrich Gauss]]. [[Disquisitiones arithmeticae]], 1801.
; voetnoten
; websites
{{References}}
* [[Python (programmeertaal)|Python]]. [https://realpython.com/python-modulo-operator/ Python Modulo in Practice: How to Use the % Operator].
}}
| 