Wikipedia

Nabla in verschillende assenstelsels: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
vervangen verouderd sjabloon door reguliere <ref>-functie + overbodige tabelopmaak
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
Dit is een lijst van enkele formules uit vectoranalyse voor het werken met veelvoorkomende kromlijnige coördinatenstelsels: [[Cartesiaanse coördinaten|Cartesischecartesische coördinaten]], [[cilindercoördinaten]], [[bolcoördinaten]].
 
== Conversies tussen stelsels ==
 
{| class="wikitable"
|+ Conversiesconversies tussen Cartesischecartesische, cilinder- en bolcoördinaten<ref name="griffiths">{{CiteDJ Griffiths. book|title=Introduction to Electrodynamics|last=Griffiths|first=David, J2012.|publisher=Pearson|year=2012| isbn= 978-0-321-85656-2}}</ref>
! colspan="2" rowspan="2" |
! colspan="3" | Fromvan
|-
! cartesisch
! Cartesian
! cylindrisch
! Cylindrical
! bol
! Spherical
|-
! rowspan="3" |To naar
! cartesisch
! Cartesian
| <math>\begin{align}
x &= x \\
Regel 30:
\end{align}</math>
|-
! cylindrisch
! Cylindrical
| <math>\begin{align}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
Regel 47:
\end{align}</math>
|-
! bol
! Spherical
| <math>\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
Regel 64:
\end{align}</math>
|}
== Conversies tussen eenheidsvectoren ==▼
 
▲== Conversies tussen eenheidsvectoren ==
{| class="wikitable"
|+ Conversiesconversies tussen eenheidsvectoren in Cartesischecartesische, cilindrische en sferische coördinatenbolcoördinaten in termen van ''bestemmingscoördinaten''<ref name="griffiths"/>
|-
!
! cartesische
! Cartesische
! cilindrische
! Cilindrische
! bol
! Sferische
|-
! cartesische
! Cartesische
| {{n/a}}
| <math>\begin{align}
Regel 87:
\end{align}</math>
|-
! cilindrische
! Cilindrische
| <math>\begin{align}
\hat{\boldsymbol \rho} &= \frac{x \hat{\mathbf x} + y \hat{\mathbf y}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\
Regel 100:
\end{align}</math>
|-
! bol
! Sferische
| <math>\begin{align}
\hat{\mathbf r} &= \frac{x \hat{\mathbf x} + y \hat{\mathbf y} + z \hat{\mathbf z}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\
Regel 115:
 
{| class="wikitable"
|+ Conversiesconversies tussen eenheidsvectoren in Cartesischecartesische, cilindrische en sferische coördinatenbolcoördinaten in termen van ''oorsprongscoördinaten''
|-
!
! cartesische
! Cartesische
! cilindrische
! Cilindrische
! bol
! Sferische
|-
! cartesische
! Cartesische
| {{n/a}}
| <math>\begin{align}
Regel 135:
\end{align}</math>
|-
! cilindrische
! Cilindrische
| <math>\begin{align}
\hat{\boldsymbol \rho} &= \cos\varphi \hat{\mathbf x} + \sin\varphi \hat{\mathbf y} \\
Regel 148:
\end{align}</math>
|-
! bol
! Sferische
| <math>\begin{align}
\hat{\mathbf r} &= \sin\theta \left(\cos\varphi \hat{\mathbf x} + \sin\varphi \hat{\mathbf y}\right) + \cos\theta \hat{\mathbf z} \\
Regel 162:
|}
 
== Formules met de gradiënt ==
== Nabla formule ==<!-- Cartesian -->
<!-- spherical -->{| class="wikitable"▼
<!-- Cylindrical \frac{\partial B_}{\partial } -->
|+ Tabel met nabla-operator in Cartesischecartesische, cilindrische en sferische coördinatenbolcoördinaten▼
<!-- Sp -->
<!-- Cartesian -->
<!-- cylindrical -->
▲<!-- spherical -->{| class="wikitable"
▲|+ Tabel met nabla-operator in Cartesische, cilindrische en sferische coördinaten
<!-- Header -->
|-
! operatie
! Operatie
! Cartesischecartesische coördinaten {{math|(''x'', ''y'', ''z'')|x}}
! Cilindercoördinatencilindercoördinaten {{math|(''ρ'', ''φ'', ''z'')|x}}
! Bolcoördinatenbolcoördinaten {{math|(''r'', ''θ'', ''φ'')|x}}, waar ''φ'' de azimutale en {{math|θ}} de polaire hoek is<ref group="kleine-letter-Grieks">Deze pagina gebruikt <math>\theta</math> voor de polaire hoek en <math>\varphi</math> voor de azimutale hoek;. ditDat is de gebruikelijke notatie voor natuurkunde. De bron voor deze formules gebruikt <math>\theta</math> voor de azimutale hoek en <math>\varphi</math> voor de polaire hoek;, dat is de gebruikelijke wiskundige notatie. Om de wiskundige variant te verkrijgenkrijgen, wisselverwissel <math>\theta</math> en <math>\varphi</math> in de bovenstaande tabel.</ref>
 
<!-- Definitiondefinitie ofvan A -->
|- align="center"
! [[Vectorveldvectorveld]] <span style="font-weight: normal">{{math|'''A'''|x}}</span>
| <math>A_x \hat{\mathbf x} + A_y \hat{\mathbf y} + A_z \hat{\mathbf z}</math>
| <math>A_\rho \hat{\boldsymbol \rho} + A_\varphi \hat{\boldsymbol \varphi} + A_z \hat{\mathbf z}</math>
Regel 185 ⟶ 180:
<!-- grad f -->
|- align="center"
! [[Gradiënt (wiskunde)|Gradiëntgradiënt]] <span style="font-weight: normal">{{math|∇''f''|x}}</span><ref name="griffiths" />
| <math>{\partial f \over \partial x}\hat{\mathbf x} + {\partial f \over \partial y}\hat{\mathbf y}
+ {\partial f \over \partial z}\hat{\mathbf z}</math>
Regel 197 ⟶ 192:
<!-- div A -->
|- align="center"
! [[Divergentie (vectorveld)|Divergentiedivergentie]] <span style="font-weight: normal">{{math|∇ ⋅ '''A'''|x}}</span><ref name="griffiths" />
| <math>{\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}</math>
| <math>{1 \over \rho}{\partial \left( \rho A_\rho \right) \over \partial \rho}
Regel 206 ⟶ 201:
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}</math>
 
<!-- curlrot A -->
|- align="center"
! [[Rotatie (vectorveld)|Rotatierotatie]] <span style="font-weight: normal">{{math|∇ × '''A'''|x}}</span><ref name="griffiths" />
| <math>\begin{align}
\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) &\hat{\mathbf x} \\
Regel 243 ⟶ 238:
\end{align}</math>
 
<!-- LaplacianLaplaciaan f -->
|- align="center"
! [[Laplacelaplace-operator]] <span style="font-weight: normal">{{math|∇<sup>2</sup>''f'' ≡ ∆''f''|x}}</span><ref name="griffiths" />
| <math>{\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}</math>
| <math>{1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right)
Regel 255 ⟶ 250:
</math>
 
<!-- vector LaplacianLaplaciaan A -->
|- align="center"
! Vectorvector Laplaciaan <span style="font-weight: normal">{{math|∇<sup>2</sup>'''A''' ≡ ∆'''A'''}}</span>
| <math>\nabla^2 A_x \hat{\mathbf x} + \nabla^2 A_y \hat{\mathbf y} + \nabla^2 A_z \hat{\mathbf z} </math>
| <math>\begin{align}
Regel 275 ⟶ 270:
+ \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) &\hat{\boldsymbol \varphi}
\end{align}</math>
}|}▼
<!-- Material derivative (A dot del)B --><!-- Tensor divergence del dot T --><!-- Differentials displacement --><!-- Differentials normal area --><!-- Differentials volume -->|}
 
=== Niet-triviale rekenregelsRekenregels ===
# <math>\operatorname{div} \, \operatorname{grad} f \equiv \nabla \cdot \nabla f \equiv \nabla^2 f</math>
# <math>\operatorname{curlrot} \, \operatorname{grad} f \equiv \nabla \times \nabla f = \mathbf 0</math>
# <math>\operatorname{div} \, \operatorname{curlrot} \mathbf{A} \equiv \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math>
# <math>\operatorname{curlrot} \, \operatorname{curlrot} \mathbf{A} \equiv \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}</math>, (Lagrange's formule voor nabla)de gradiënt
# <math>\nabla^2 (f g) = f \nabla^2 g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \nabla^2 f</math>
 
{{Appendix|ref|2=Voetnoten}}
{{References}}
----
'''Voetnoten''''
{{References|group=kleine-letter-Grieks}}
▲}}
 
[[Categorie:Wiskundige analyse]]
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_verschillende_assenstelsels"