Constructie met passer en liniaal: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Wijzigingen door 78.20.161.183 (Overleg) hersteld tot de laatste versie door Daniuu: vandalisme |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
[[
[[
[[
Een '''constructie met passer en liniaal''' is het construeren van een bepaalde figuur, lengte, hoek of punt in het [[Euclidische meetkunde|Euclidische vlak]] met alleen een (geïdealiseerde) [[passer (gereedschap)|passer]] en [[liniaal]].
Regel 7:
Constructies die niet met deze middelen konden worden uitgevoerd werden door de Grieken uit de klassieke oudheid, en in hun navolging tot in de [[twintigste eeuw]], niet als bevredigend ervaren. De constructies zijn in zekere zin opnieuw actueel geworden door het gebruik van dynamische meetkundesoftware, waarin dergelijke constructies kunnen worden uitgevoerd.
== De werktuigen ==
De meetkundige beperkingen die door de oude Grieken aan het gebruik van de passer en liniaal stelden grijpen terug naar de [[Elementen van Euclides]]:
* De
* De
Een oplossing moet exact zijn, benaderingsconstructies gelden niet als oplossing. Daarom moet een goede constructie altijd gepaard gaan met een analyse.
Regel 22:
De beperking dat een passer niet gebruikt mag worden om lengtes over te brengen is trouwens betekenisloos, dit kan met een constructie toch gedaan worden.
== De drie problemen uit de klassieke Griekse meetkunde ==
De Grieken slaagden er niet in de volgende problemen met constructies op te lossen:
* [[Driedeling van de hoek]]
Regel 29:
Ook lukte het niet om bepaalde [[regelmatige veelhoek]]en te construeren, zoals de regelmatige [[zevenhoek]] en de regelmatige [[negenhoek]].
[[Carl Friedrich Gauss]] bewees in [[1796]] in zijn [[Disquisitiones arithmeticae]] dat regelmatige veelhoeken construeerbaar zijn met passer en liniaal als het aantal hoeken het product is van een [[macht (wiskunde)|macht]] van 2 en een aantal verschillende [[Fermat-priemgetal]]len. In [[1837]] bewees de Franse wiskundige [[Pierre-Laurent Wantzel|Pierre Wantzel]] vervolgens dat dit de enige construeerbare regelmatige veelhoeken zijn, en toonde hij aan dat de driedeling van de hoek en de verdubbeling van de kubus onmogelijk zijn.<ref>{{cite journal|last=Wantzel|first=P.L.|title=Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas.|journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|date=1837|volume=2|series=1|pages=366–372|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf}}</ref> De onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel volgde in [[1882]] toen [[Carl Louis Ferdinand von Lindemann]] bewees dat [[pi (wiskunde)|pi]] een [[transcendent getal]] is.<ref>Een vereenvoudigde uitleg over de onmogelijkheid van deze constructies is te vinden op de [https://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/impossconstruct.html website van de Universiteit van Toronto]</ref>
De resultaten van Gauss en Wantzel
▲De resultaten van Gauss en Wantzel worden vaak geformuleerd als:<br />
<math>n</math> is het product van een macht van <math>2</math> en van een aantal,
▲'''Stelling van Gauss-Wantzel''' - Een regelmatige <math>n</math>-hoek kan ''met passer en (ongemerkte) liniaal'' worden geconstrueerd
▲<math>n</math> is het product van een macht van <math>2</math> en van een aantal (waaronder 0) verschillende Fermat-priemgetallen.<br />
▲'''In formule''' (voor gehele <math>k\ge 0,\ m\ge 0)</math>: <math>n={{2}^{k}}\cdot {{p}_{1}}\cdot {{p}_{2}}\cdot ...\cdot {{p}_{m}}\ </math> (als <math>k=0</math>, dan <math>m>0</math>).
Ondanks de overtuigende wiskundige bewijzen blijven er mensen zoeken naar constructies voor de klassieke Griekse problemen.
Overigens is door verruiming van de eisen, bijvoorbeeld door het toestaan van [[neusis]], een aantal van de ''onmogelijke'' constructies wél uit te voeren. Ook [[origami]] biedt meer mogelijkheden dan de klassieke constructies, en maakt het driedelen van de hoek en verdubbeling van de kubus mogelijk.
== Beperktere middelen ==
De [[stelling van Mohr-Mascheroni]] laat zien dat alle constructies van punten met passer en liniaal ook gedaan kunnen worden met passer alleen. Met liniaal alleen kunnen niet alle constructies worden gedaan, maar de [[stelling van Poncelet-Steiner]] toont aan dat het voldoende is als één cirkel met een middelpunt is getekend.
| |||