|
[[BestandAfbeelding:Veelvlakken-fragment.jpg|thumb|De vijf regelmatige veelvlakken]]
[[BestandAfbeelding:Compound of four cubes (1).png|thumb|Een samengesteld veelvlak van vier door elkaar gevlochten kubussen]]
[[BestandAfbeelding:Great disnub dirhombidodecahedron.png|thumb|of nog gecompliceerder]]
Een '''veelvlak''', '''polyeder''' of '''polyhedron''', van het [[Oudgrieks]]: {{Polytonic|πολύς}}, ''polýs'', veel en {{Polytonic|ἕδρα}}, ''hedra'', basis of zit(vlak), is een object in drie [[Dimensie (algemeen)|dimensies]], dat uitsluitend door een eindig aantal [[veelhoek]]en wordt begrensd. De veelhoeken heten de [[Vlak (meetkunde)|zijvlakken]] en de [[lijnstuk]]ken waarin de veelhoeken elkaar raken, de [[ribbe]]n. De ribben komen in de [[Hoekpunt (meetkunde)|hoekpunten]] van het veelvlak bij elkaar. Voorbeelden van veelvlakken zijn de [[Balk (meetkunde)|balk]], in het bijzonder de [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] en de [[Piramide (ruimtelijke figuur)|piramide]]. Bij een veelvlak waarvan alle hoekpunten op dezelfde bol liggen is er een [[bolvormig veelvlak]] met de hoekpunten in dezelfde posities, met delen van grote cirkels als ribben, en met dezelfde symmetrie als het gewone veelvlak. Omgekeerd is er bij een bolvormig veelvlak alleen een gewoon veelvlak als van elk gekromd zijvlak de hoekpunten in een vlak liggen. Dit is onder het geval bij boldriehoeken en bij regelmatige bolveelhoeken.
De ''hoekpuntconfiguratie '' van een hoekpunt geeft in cyclische volgorde aan hoeveel zijden de zijvlakken rond een hoekpunt hebben, bijvoorbeeld 5.6.6 als een vijfhoek en twee zeshoeken samenkomen. Het aantal getallen is dus de valentie van het hoekpunt. De hoekpuntconfiguratie is ook aan de orde bij [[betegeling]]. ▼Wanneer twee verschillende veelvlakken zo in elkaar passen dat de middens van de zijvlakken van de één op de hoekpunten van de andere liggen, heten zij elkaars [[Duaal veelvlak|duale veelvlak]].
De ribben en hoekpunten van een veelvlak vormen een [[Grafentheorie|graaf]]. Daarom kan bijvoorbeeld de term [[Graad (grafentheorie)|valentiegraad]] (gebruikt in de grafentheorie, het aantal zijden waarmee een knoop van een graaf is verbonden is), ook worden toegepast op hoekpunten van een veelvlak: het aantal ribben dat daar samenkomt.
Veelvlakken kunnen worden ingedeeld naar aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten en hun onderlinge relaties, zoals de cyclus van hoekpunten en ribben per zijvlak, cyclus van zijvlakken en ribben per hoekpunt. Een [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] kan bijvoorbeeld vervormd worden tot andere [[zesvlak]]ken in dezelfde categorie, maar een [[vijfhoekige piramide]] en een [[driehoekige bipiramide]] zijn zesvlakken die bij deze indeling elk tot een andere categorie behoren. Bij een categorie waarbij de veelvlakken wat betreft de genoemde structuur [[Chiraliteit (wiskunde)|chiraal]] zijn is er een categorie met de spiegelbeelden van die veelvlakken.
▲De ''hoekpuntconfiguratie'' van een hoekpunt geeft in cyclische volgorde aan hoeveel zijden de zijvlakken rond een hoekpunt hebben, bijvoorbeeld 5.6.6 als een vijfhoek en twee zeshoeken samenkomen. Het aantal getallen is dus de valentie van het hoekpunt. De hoekpuntconfiguratie is ook aan de orde bij [[betegeling]].
VeelvlakkenEr kunnenis wordenverder ingedeeldvoor naarieder aantalveelvlak zijvlakken,een ribbenduaal enveelvlak. hoekpuntenAls ener hun onderlinge relaties (zoals de cyclus van hoekpunten en ribben per zijvlak, cyclus van zijvlakken en ribben per hoekpunt). Eeneen [[Kubustweeplaatsige (ruimtelijke figuur)|kubusrelatie]] kantussen bijvoorbeeldtwee vervormdveelvlakken worden tot andere [[zesvlakken]] in dezelfde categoriebestaat, maarwaarin eende [[vijfhoekigeZijde piramide(meetkunde)|zijvlakken]] envan eenhet [[driehoekigeeerste bipiramide]]veelvlak zijnovereenkomen zesvlakken die bij deze indeling elk tot een andere categorie behoren. Bij een categorie waarbijmet de veelvlakken wat betreft de genoemde structuur [[ChiraliteitHoekpunt (wiskundemeetkunde)|chiraalhoekpunten]] zijn is er een categorie met de spiegelbeelden van diehet veelvlakken.andere Verderveelvlak isen eromgekeerd, voorheten elkezij categorieelkaars een[[Duaal veelvlak|duale (soms dezelfde); in dit verband wordt met duaal bedoeld dat in de structuur zijvlakken en hoekpunten worden verwisseldveelvlak]]. Zo is de categorie van driehoekige bipiramiden, (inclusief onregelmatige), de duale van de categorie waar onder meer het driehoekig [[Prisma (wiskunde)|prisma]] onder valt.
== Zelfdoorsnijdende en samengestelde veelvlakken ==
== Uniforme veelvlakken ==
Een veelvlak heet ''uniform'' als het uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak heeft, en hoekpunttransitief is. De hoekpuntconfiguratie is dan voor elk hoekpunt hetzelfde, en wordt dan de hoekpuntconfiguratie van het uniforme veelvlak genoemd. Er is bij een gegeven hoekpuntconfiguratie niet meer dan één uniform veelvlak, behalve dat van de [[Archimedisch lichaam|archimedische lichamen]] 3.3.3.3.4 en 3.3.3.3.5 elk twee chirale vormen bestaan, die elkaars spiegelbeeld zijn.
De uniforme veelvlakken worden als volgt ingedeeld:
* Uniforme veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, en uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak hebben.
** De vijf [[Regelmatig veelvlak|platonischeregelmatige lichamenveelvlakken]], dit zijn de niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde veelvlakken waarbij alle zijvlakken dezelfde regelmatige veelhoek zijn. Ze zijn naast hoekpunttransitief ook zijvlaktransitief, ribbetransitief en convex. Het zijn het [[Viervlak|regelmatige viervlak]] (3.3.3), de [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] (4.4.4), dehet [[octaëderRegelmatig achtvlak|regelmatige achtvlak]] (3.3.3.3), de [[dodecaëderRegelmatig twaalfvlak|twaalfvlak]] (5.5.5) en de [[icosaëderRegelmatig twintigvlak|twintigvlak]] (3.3.3.3.3).
** De [[Halfregelmatig veelvlak|halfregelmatige veelvlakken]], dit zijn de overige niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde isogonale veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak. Ze zijn symmetrisch en convex.
*** Een oneindige reeks [[Prisma (wiskunde)|prisma's]] <math>n</math>.4.4, <math>n</math> = 3, 5, 6, 7, .. (<br> <math>n</math> = 4 past in de reeks, maar is een regelmatig veelvlak). Ze hebben dus twee soorten zijvlakken.
*** Een oneindige reeks [[Antiprisma|antiprisma's]] <math>n</math>.3.3.3, <math>n</math> = 4, 5, 6, 7, .. (<br> <math>n</math> = 3 past in de reeks, maar is een regelmatig veelvlak). Ze hebben dus ook twee soorten zijvlakken.
*** De 15 archimedische lichamen of veelvlakken, 13 als spiegelbeelden niet apart meetellen. Ze hebben twee of drie soorten zijvlakken. Het aantal hoekpunten per zijvlak kan zijn 3, 4, 5, 6, 8 en 10. De kuboctaëder (3.4.3.4) en de icosidodecaëder (3.5.3.5) zijn ''quasiregelmatig'', dat wil zeggen dat ze ook ribbetransitief zijn.
* Uniforme zelfdoorsnijdende veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.
** De vier [[Kepler-poinsot-lichaam|kepler-poinsot-lichamen]]
Onder andere:
* [[Catalanlichaam|Catalanlichamen]] zijn de duale veelvlakken van de archimedische lichamen, maar hun zijvlakken zijn geen regelmatige veelhoeken. Ze zijn convex en zijvlaktransitief, maar niet hoekpunttransitief.
* ''Goldbergveelvlakken'' zijn veelvlakken met volledige of chirale [[icosahedrale symmetrie]] met 12 regelmatige vijfhoeken, en verder zeshoeken die gelijkzijdig zijn, (de zijden zijn even lang), maar waarvan de hoeken niet gelijk zijn. Er zijn er oneindig veel. Ze worden aangeduid als {5+,3}<sub>''m'',''n''</sub> met gehele getallen <math>m</math> en <math>n</math>, en <math>0 \le n \le m</math>. Ze hebben <math>10 T + 2</math> zijvlakken, <math>30 T</math> ribben en <math>20 T</math> hoekpunten, met <math>T = m^2 + mn + n^2</math>. De [[Icosahedrale symmetrie#Geodetische en goldbergveelvlakken|goldbergveelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie]] zijn die met <math>n</math> gelijk aan 0 of <math>m</math>. {5+,3}<sub>1,0</sub> is een regelmatig veelvlak en {5+,3}<sub>1,1</sub> een archimedisch lichaam, ze vallen qua mate van regelmaat dus buiten deze categorie. Er zijn ook nog analoge veelvlakken met volledige [[tetrahedrale symmetrie]] en volledige [[octahedrale symmetrie]] met gelijkzijdige veelhoeken, maar dat is er maar een van elk, {3+,3}<sub>2,0</sub> en {4+,3}<sub>2,0</sub>, en geen met de betreffende chirale symmetie.<ref>{{en}} {{aut|S Schein}} en {{aut|JM Gayed}}. [https://www.pnas.org/content/111/8/2920 Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses], 25 februari 2014. in [[Proceedings of the National Academy of Sciences]]</ref>
* Een [[geodetisch veelvlak]] bestaat uit driehoeken en twaalf 5-valente hoekpunten en verder 6-valente. Het veelvlak is niet hoekpunttransitief, en de driehoeken zijn niet helemaal gelijkzijdig. Onder meer vallen de dualen {3,5+}<sub>''m'',''n''</sub> van de goldbergveelvlakken hieronder; ze hebben dezelfde symmetrie en net als de goldbergveelvlakken bij benadering de vorm van een bol. Andere uit driehoeken bestaande veelvlakken met ongeveer een bolvorm worden ook wel geodetische veelvlakken genoemd.
* De hoekpunten van een regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam <math>A</math> liggen op een bol <math>B</math>. Er kan uitgaande van <math>A</math> een nieuw veelvlak worden gemaakt, dat <math>B</math> beter benadert, door op ieder zijvlak van <math>A</math> een stompe piramide te zetten met de top ook op <math>B</math>. Het nieuwe lichaam is geen regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam meer.
* [[Bolvormig veelvlak|Bolvormige veelvlakken]], waarbij de voorwaarde wordt losgelaten dat de zijvlakken vlak zijn.
{{Appendix}}
Er zijn geen convexe veelvlakken die alleen ribbetransitief zijn.
{{appendix}}
[[Categorie:Ruimtelijke figuur]]
| 