Versie van 4 mrt 2021 14:12 bewerken Ceescamel (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 75.775 bewerkingen k Franz Mertens (wiskundige) ← Oudere bewerking		Huidige versie van 4 mrt 2021 om 16:15 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1: In de [[wiskunde]] is het '''vermoeden van Mertens''' een bewering over het asymptotisch gedrag van de [[mertensfunctie]]. Het vermoeden is genoemd naar [[Franz Mertens (wiskundige)\|Franz Mertens]], die in [[1897]] zijn vermoeden uitsprak. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest, zou daarmee ook de [[~~Riemann~~riemann-hypothese]] zijn [[bewijs (wiskunde)\|bewezen]]. == Definitie == In de [[getaltheorie]] is de [[~~Mertensfunctie~~mertensfunctie]] gedefinieerd als :<math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math> waarin μ(k) de [[~~Möbiusfunctie~~möbiusfunctie]] is. Het ''vermoeden van Mertens'' luidt dat voor alle <math>n > 1</math> geldt dat :<math>\left\| M(n) \right\| < \sqrt n.</math> == Weerlegging == Regel 14: hebben bewezen, namelijk dat <math>M(n)/\sqrt{n}</math> [[Begrensde functie\|begrensd]] was, maar hij publiceerde dit bewijs niet. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd. Als de ~~Möbiusfunctie~~möbiusfunctie <math>\mu</math> wordt vervangen door een willekeurige rij van 1'en en −1'en, volgt uit de [[wet van de iteratieve logaritme]]n dat de orde van groei van de partiële sommen van de eerste <math>n</math> termen (met kans 1) ongeveer gelijk is aan <math>\sqrt {n \log \log n}</math>, hetgeen suggereert dat de orde van de toename van <math>M(n)/\sqrt n</math> ergens rond <math>\sqrt{\log \log n}</math> zou kunnen liggen. De werkelijke orde van groei zou iets kleiner kunnen zijn, zoals vermoedt door [[Steve Gonek]] in de vroege jaren 1990, namelijk <math>(\log{\log{\log{n}}})^{5/4}</math>. Dit werd in 2004 gedeeld door [[Nathan Ng\|Ng]], gebaseerd op een heuristisch argument. == Verband met de ~~Riemann~~riemann-hypothese == Het verband met de [[~~Riemann~~riemann-hypothese]] is gebaseerd op de [[~~Dirichletreeks~~dirichletreeks]] voor de reciproke van de [[~~Riemann~~riemann-zèta-functie]]: :<math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s},</math>, die geldig is in het gebied <math>\Re(s) > 1</math>. Dit kan herschreven worden als een [[Riemann-Stieltjes-integraal\|Stieltjes-integraal]] :<math>\frac{1}{\zeta(s)} = \int_0^\infty x^{-s}\,{\rm d}M(x),</math>, waaruit na [[partiële integratie]] de reciproke van de [[zètafunctie]] ontstaat als een [[~~Mellin~~mellin-transformatie]] :<math>\frac{1}{s \zeta(s)} = \left\{ \mathcal{M} M \right\}(-s) = \int_0^\infty x^{-s-1} M(x)\,{\rm d}x.</math> Terugtransformeren geeft <math>M</math> uitgedrukt in termen van <math>1/\zeta</math> :<math>M(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \frac{x^s}{s \zeta(s)}\, {\rm d}s</math> geldig voor <math>1 < \sigma < 2</math>, en voor <math>1/2 < \sigma < 2</math> onder de ~~Riemann~~riemann-hypothese. Hieruit volgt dat de ~~Mellin~~mellin-transformatieintegraal moet convergeren, en dat <math>M(x)</math> van de orde <math>O(x^e)</math> moet zijn voor elke exponent <math>e > 1/2</math>. Dit impliceert dat :<math>M(x) = O(x^{\frac12+\varepsilon})</math> voor elke <math>\epsilon > 0</math> equivalent is aan de ~~Riemann~~riemann-hypothese, die daarom een gevolg zou zijn van het sterkere vermoeden van Mertens. Ook volgt uit de hypothese van Stieltjes dat :<math>M(x) = O(x^{1/2})</math>. ==Referenties==

Vermoeden van Mertens: verschil tussen versies