Wortel 2: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Irrationaal getal: Het bewijs in de Elementen wordt gegeven met oneindige afdaling. |
|||
Regel 77:
De [[Stelling (wiskunde)|stelling]] dat √2 een [[irrationaal getal]] is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet als de [[Breuk (wiskunde)|breuk]] van twee [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] zijn te schrijven. Daarmee werd het wereldbeeld van de [[Pythagorisme (Pythagoras)|Pythagoreërs]], die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, omver geworpen.
De stelling kan op diverse manieren worden bewezen, bijvoorbeeld met behulp van de [[hoofdstelling van de rekenkunde]].<ref>K De Naeghel. [https://www.freewebs.com/koendenaeghel/irrational.pdf Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van √2], 27 februari 2011. {{pdf}}</ref> Er staat in boek 10 van de [[Elementen van Euclides]] een [[bewijs door oneindige afdaling]] dat √2 geen rationaal getal kan zijn, maar er wordt sinds het begin van de 19e eeuw aangenomen dat het bewijs in de Elementen een [[Interpolatie (literatuur)|interpolatie]] is.<ref>Het bewijs is in twee vertalingen uit de 19e eeuw, een uit Berlijn van EF August uit 1826-1829 en een van [[Johan Ludvig Heiberg|JL Heiberg]] uit 1883-1888, slechts in een appendix opgenomen.</ref>
{{Uitklappen
| achtergrond = #efdfef
| afb =
| align = left
| tekstgrootte= 90%
| inhoud =
Het is een [[bewijs uit het ongerijmde]].
▲=== Bewijs uit het ongerijmde ===
Stel dat √2 een [[rationaal getal]] is en wel <math>\sqrt{2} = \frac{a}{b}</math>, waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn, geen factoren gemeenschappelijk hebben.
Regel 89 ⟶ 98:
<math>b^2</math> is kennelijk even, en daarmee ook <math>b</math> zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat <math>a</math> en <math>b</math> relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, heeft geleid tot een tegenspraak. Deze veronderstelling was dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.
}}
{{Uitklappen
| achtergrond = #efdfef
| titel = Bewijs met behulp van de hoofdstelling van de rekenkunde
| afb =
| align = left
| tekstgrootte= 90%
| inhoud =
Dit bewijs gaat ook uit het ongerijmde.
Veronderstel dat <math>\sqrt{2}</math> een [[rationaal getal]] is en is te schrijven als het quotiént van twee positieve natuurlijke getallen <math>a</math> en <math>b</math>: <math>\frac{a}{b} = \sqrt{2}</math>.
Dan volgt na <math>b</math> uit de noemer halen en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]] dat <math>a^2 = 2b^2</math>.
Noem <math>r</math> en <math>s</math> de grootste machten van <math>2</math>, zodat <math>a</math> door <math>2^r</math> en <math>b</math> door <math>2^s</math> zijn te delen. Ontbind <math>a^2</math> en <math>2b^2</math> in priemfactoren en tel het aantal keer dat <math>2</math> in het uitgeschreven product in priemfactoren voorkomt. Dan is <math>2r=2s+1</math>.
Dat is in tegenspraak met de [[hoofdstelling van de rekenkunde]], die zegt dat ieder gehele getal groter dan 1 op maar één manier in [[priemfactor]]en is te ontbinden. De veronderstelling dat <math>\sqrt{2}</math> een rationaal getal is, was dus onjuist. Dat betekent dat <math>\sqrt{2}</math> irrationaal is en de stelling is bewezen.
}}
== De A-standaard voor papierformaat ==
| |||