Veelvlak: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
k https://taaladvies.net/taal/advies/vraag/238/: één van → een van met AWB |
||
Regel 1:
[[
[[
[[
Een '''veelvlak''', '''polyeder''' of '''polyhedron''', van het [[Oudgrieks]]: {{Polytonic|πολύς}}, ''polýs'', veel en {{Polytonic|ἕδρα}}, ''hedra'', basis of zit(vlak), is een object in drie [[Dimensie (algemeen)|dimensies]], dat uitsluitend door een eindig aantal [[veelhoek]]en wordt begrensd. De veelhoeken heten de [[Vlak (meetkunde)|zijvlakken]] en de [[lijnstuk]]ken waarin de veelhoeken elkaar raken, de [[ribbe]]n. De ribben komen in de [[Hoekpunt (meetkunde)|hoekpunten]] van het veelvlak bij elkaar. Voorbeelden van veelvlakken zijn de [[Balk (meetkunde)|balk]], in het bijzonder de [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] en de [[Piramide (ruimtelijke figuur)|piramide]]. Bij een veelvlak waarvan alle hoekpunten op dezelfde bol liggen is er een [[bolvormig veelvlak]] met de hoekpunten in dezelfde posities, met delen van grote cirkels als ribben, en met dezelfde symmetrie als het gewone veelvlak. Omgekeerd is er bij een bolvormig veelvlak alleen een gewoon veelvlak als van elk gekromd zijvlak de hoekpunten in een vlak liggen. Dit is onder het geval bij boldriehoeken en bij regelmatige bolveelhoeken.
Regel 14:
== Zelfdoorsnijdende en samengestelde veelvlakken ==
Een niet-convex veelvlak is een zelfdoorsnijdend of een samengesteld veelvlak als zich ten aanzien van dat veelvlak gevallen voordoen van verschillende zijvlakken die op dezelfde [[veelhoek]], zijvlak van het veelvlak, liggen. Zelfdoorsnijdend en samengesteld betekent niet hetzelfde: een zelfdoorsnijdend veelvlak is één geheel tussen zijvlakken, ribben en hoekpunten, terwijl een samengesteld veelvlak uit componenten bestaat, die zelf ieder weer een veelvlak zijn. Deze aparte zijvlakken op dezelfde veelhoek worden samen als één zijvlak beschouwd. De veelhoek telt als het zijvlak en doorsnijdt het lichaam. Iedere ribbe ligt op de plaats waar twee zijvlakken elkaar raken, maar de snijlijn van twee van zulke veelhoeken die elkaar doorsnijden, wordt niet als ribbe beschouwd. Ribben op dezelfde lijn, waarop twee veelhoeken elkaar raken, worden daarbij opgevat als één ribbe. Die ribben doorsnijden het lichaam. Maar het snijpunt van zo'n ribbe met een zijvlak dat de ribbe doorsnijdt, wordt niet als hoekpunt beschouwd.
Dit heeft invloed op het aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten van het veelvlak, en op zijn regelmatigheid. In het bijzonder wordt een veelvlak met grote symmetrie soms opgevat als zelfdoorsnijdend of als een samengesteld veelvlak als daardoor het geheel op basis van de geldende criteria meer regelmatig wordt.
Regel 25:
Een veelvlak is ''hoekpunttransitief'' of ''isogonaal'' als er voor elk tweetal hoekpunten <math>P</math>, <math>Q</math> van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij <math>P</math> op <math>Q</math> afbeeldt.<ref>https://mathworld.wolfram.com/ElongatedSquareGyrobicupola.html</ref> Een nodige voorwaarde is dat in alle hoekpunten dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen, in dezelfde of omgekeerde cyclische volgorde, en ook dat alle hoekpunten op een bol liggen.
Een veelvlak is ''ribbetransitief'' of ''isotoxaal'' als er voor elk tweetal ribben <math>R</math>, <math>S</math> van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij <math>R</math> op <math>S</math> afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle ribben even lang zijn en dat dezelfde twee soorten zijvlakken er bij elkaar komen.
Een veelvlak is ''zijvlaktransitief'' of ''isohedraal'' als er voor elk tweetal zijvlakken <math>V</math>, <math>W</math> van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij <math>V</math> op <math>W</math> afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle zijvlakken congruent zijn.
Regel 57:
Onder andere:
* [[Catalanlichaam|Catalanlichamen]] zijn de duale veelvlakken van de archimedische lichamen, maar hun zijvlakken zijn geen regelmatige veelhoeken. Ze zijn convex en zijvlaktransitief, maar niet hoekpunttransitief.
* ''Goldbergveelvlakken'' zijn veelvlakken met volledige of chirale [[icosahedrale symmetrie]] met 12 regelmatige vijfhoeken, en verder zeshoeken die gelijkzijdig zijn (de zijden zijn even lang), maar waarvan de hoeken niet gelijk zijn. Er zijn er oneindig veel. Ze worden aangeduid als {5+,3}<sub>''m'',''n''</sub> met gehele getallen <math>m</math> en <math>n</math>, en <math>0 \le n \le m</math>. Ze hebben <math>10 T + 2</math> zijvlakken, <math>30 T</math> ribben en <math>20 T</math> hoekpunten, met <math>T = m^2 + mn + n^2</math>. De [[
* Een [[geodetisch veelvlak]] bestaat uit driehoeken en twaalf 5-valente hoekpunten en verder 6-valente. Het veelvlak is niet hoekpunttransitief, en de driehoeken zijn niet helemaal gelijkzijdig. Onder meer vallen de dualen {3,5+}<sub>''m'',''n''</sub> van de goldbergveelvlakken hieronder; ze hebben dezelfde symmetrie en net als de goldbergveelvlakken bij benadering de vorm van een bol. Andere uit driehoeken bestaande veelvlakken met ongeveer een bolvorm worden ook wel geodetische veelvlakken genoemd.
* De hoekpunten van een regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam <math>A</math> liggen op een bol <math>B</math>. Er kan uitgaande van <math>A</math> een nieuw veelvlak worden gemaakt, dat <math>B</math> beter benadert, door op ieder zijvlak van <math>A</math> een stompe piramide te zetten met de top ook op <math>B</math>. Het nieuwe lichaam is geen regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam meer.
Regel 65:
{{appendix}}
[[Categorie:Ruimtelijke figuur]]
| |||